Über die numerische Ausführung der Üniformisierung. 



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Nach Einsetzung der Reihenentwicklungen (16) und der beiden analogen in dieser Gleichung 

 ergibt sich durch Vergleiclumg der Koeffizienten auf den beiden Seiten, dass alle Koeffizienten 

 s„, t„, diejenigen der höchsten Potenzen ausgenommen, gleich Null sind. Weil ferner sowohl x p 

 als x p + i für z = oo unendlich werden, ist s^—.t^ uud wir erhalten also für (15) den Ausdruck 



x p — b p ~\x p + i — d p ) 



Zur Bestimmung der Grössen c p , d p ersetzen wir in der Formel (17) x p und x p ( i durch 

 ihre für die Umgebung von z = oo geltenden Reihenentwicklungen 



= z + Al + 



+ 



B l . B 2 

 Xp+i=Z+ - -t- -j- + • 



wodurch die genannte Formel den Ausdruck 



b 



i + 



P , b p (b„ 



«*) 



= 1 + Pp 



d„ 



+ f P {d 



' P -c P )[d p + ^ 



- 1 



(dp - Cp) 



IMä 



annimmt. Hieraus erhalt man durch Vergleichung der Koeffizienten von z ' 

 Formeln 



und z 



— 2 



die 



(17)' 



c» — 



d p = 



<h + K a^_ 

 2 2 /* p 



6. 



«,, -f bp 



dp — bp 



•V;> 



Die Koeffizienten unserer Resolvente (17) sind hiermit durch die Werte der Hauptfunktion 

 Xp = f p (z) für die Eckpunkte einer Randsichel des Fundamentalbereiches von r p ausgedrückt. 



Wir wählen nun zuerst p = 0. Die Koeffizienten a, b der zugehörigen Gleichung (17) sind 

 dann ganz einfach identisch mit einem der gegebenen markierten Punktpaare der x- Ebene. Man 

 kann also den Wert, von x t für einen beliebigen Eckpunkt mittels Wurzel- und rationalen Ope- 

 rationen aus bekannten Grössen berechnen und gelangt in dieser Weise zur expliziten Darstel- 

 lung der Gleichung (17) für p = \. Allgemein lassen sich die Koeffizienten der p Ua Resol- 

 vente aus den Koeffizienten der (p— 1)"'" Resolvente in ähnlicher Weise berechnen. Die Auf- 

 gabe der expliziten Darstellung einer beliebigen Transformationsgleichung ist hiermit auf die 

 Ausführung eiuer endlichen Anzahl rationaler und Wurzeloperationen zurückgeführt. 



16. Die obigen Resultate könneu auch im Falle /t = oo verwertet werden, in diesem 

 Falle besitzt die Tafel (6) unendlich viele Horizontalreihen, weil nämlich dann das Repräsen- 

 tanteusystem aus den unendlich vielen Potenzen einer parabolischen Substitution besteht. Fer- 

 ner nimmt die Resolvente (17) für (i, = oo die Form 



(18) 



■ /' 



a» 



JLn 



= e 



*P + l — — ô 



*p <-'p 



an, wie man durch einen einfachen Grenzübergang findet. 



N:o 7. 



