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Wir wolleu noch direkt bestätigen, dass die durch diese Gleichung bestimmte Funktion 

 x p + i wirklich die Hauptfunktion von C p+1 darstellt, wenn x p diejenige von /), ist. 



In der Tat verhält sich offenbar die Funktion. x p +i = f p +\ (z) denselben Substitutionen 

 gegenüber invariant wie die Funktion x e = f p (z), diejenige erzeugende Substitution S p von r p so- 

 wie ihre Transformierten ausgenommen, deren Sicheln in der ;c-Ebene der Schnitt a p b p entspricht. 

 Aus der Definition von /], + 1 folgt aber ohne weiteres, dass keine von ihren erzeugenden Sub- 

 stitutionen aus S p durch Transformation hervorgegangen ist, m. a. W. x p ±\(z) ist unter der 

 gemachten Voraussetzung eine automorphe Funktion von r p + l . Dass sie gerade die Haupt- 

 funktion der Gruppe r p + 1 ist, kann mau auf Grund der Relation (18) leicht bestätigen, in- 

 dem man das Verhalten der Funktion x p + [ im Punkte 2 = 00 berücksichtigt. 



17. Auf Grund der vorgehenden Entwicklungen sind wir jetzt im Stande, auf eine interes- 

 sante Analogie zwischen der Berechnung der polymorphen Funktionen und der algebraischen 

 Auflösung von Gleichungen hinzuweisen. Wenn man nämlich '• 



(19) /» = ./■ 



als eine transzendente Gleichung für z betrachtet, die die unendlich vielen von einander linear ab- 

 hängigen Zweige der polymorphen Funktion zu Wurzeln hat, so kann die Gruppe r als die sym- 

 metrische Gruppe der Wurzeln angesehen werden, indem die symmetrischen Funktionen der 

 Wurzeln automorphe Funktionen von z sind und sich somit durch x und analoge gegebene 

 (Grössen rational ausdrücken lassen. In unserer Gruppenfolge r, r,. / 2 . . . besitzen wir eine 

 Zerlegung der symmetrischen Gruppe in Untergruppen, die der bei der Auflösung von alge- 

 braischen Gleichungen angewandten analog ist, und in den Hauptfunktionen besitzen wir ihre 

 bezüglichen Invarianten. Schliesslich entsprechen die Transformationsgleichungen (17) und (18) 

 den Resolventen. 



Es liegt nun ein Unterschied darin, dass wir wegen der unendlichen Anzahl Substitutionen 

 der Gruppe T nicht, nach einer endlichen Anzahl von Zerlegungen derselben, zu einer Unter- 

 gruppe gelangen, die nur aus der identischen Substitution bestände und deren invariante Funk- 

 tion gerade z wäre. Etwas Analoges kommt jedoch in dein Umstände zum Vorschein, dass un- 

 sere Kette von Untergruppen in gewissem Sinne gegen die identische Substitution konvergiert, 

 indem die Reihe der Hauptfunktionen die Grenzfunktion s besitzt, welche als Hauptfunktion der 

 aus der identischen Substitution allein bestehenden Untergruppe /' x angesehen werden kann. 



Indem hiermit die Berechnung der polymorphen Funktion s auf die Auflösung einer un- 

 endlichen Folge binomischer und exponentieller Gleichungen zurückgeführt worden ist, ergibt 

 sich die Möglichkeit, durch Ausführung einer hinreichend grossen Anzahl von Wurzel- bzw. 

 logarithmischen Operationen die Uniformisierung mit vorgeschriebener Genauigkeit auszuführen. 



18. Nachdem wir in den vorhergehenden Paragraphen für die algebraischen Funktionen 



(20) .-! (x), x 2 (x) x„ (x). . . . , 



ihre expliziten Ausdrücke hergeleitet haben, bleibt es noch übrig, die von diesen Funktionen 

 vermittelten konformen Abbildungen der geschnittenen a?-Ebene in dem Umfange zu studieren, 

 wie es zur Herleitung der Konvergenzkriterien wünschenswert ist. 



Tom. XLVIII. 



