Über die numerische Ausführung, der Uniformisierung. 19 



Wir ordnen jedem Schnitt «,-/',■ (* = 1, 2, ■ ■ -, "M eine Sichel der »-Ebene zu, deren Ord. 

 nung, d. h. die Ordnung der dadurch definierten zyklischen Gruppe, gleich dem entsprechenden 

 Index (i, ist. Hierdurch erhalten wir einen m-t'ach zusammenhängenden, von Sicheln begrenzten 

 Bereich, welcher als Fundamentalbereich betrachtet eine Gruppe definiert, die mit «1er gesuchten 

 Gruppe holoedrisch isomorph ist und deren Polygonnetz mit demjenigen der gesuchten Gruppe 

 in Sinne der Analysis situs identisch ist. 



Wir denken uns jetzt eine unendliche Anzahl von in der oben angegebenen Weise ge- 

 schnittenen, übereinander gelagerten x- Ebenen vorhanden und diese miteinander längs den 

 Schnitten in der Weise verbunden, dass eine unendlich vielblättrige geschlossene Biemannsche 

 Fläche, die sog. Überlagerungsfläche entsteht, die in umkehrbar eindeutiger Weise auf das ganze 

 Polygonnetz der Gruppe im Sinne der Analysis situs bezogen werden kann. 



Zu diesem Zweck lugen wir durch Zusammenheftung der Ufer der Schnitte a k b k zu dem- 

 jenigen Blatt i^,, welches dem Fuudamentalbereich von /'zugeordnet ist, diejenigen /»*— 1 

 Blätter hinzu, welche Polygonen des Fundainentalbereichs von /', entsprechen. Hierdurch ent- 

 steht eine p k - blättrige, auf den Fuudamentalbereich von 1\ umkehrbar eindeutig bezogene Rie- 

 mannsche Fläche i\ vom Geschlecht Null, deren jedes Blatt m — 1 freie Schnitte aufweist. Wenn 

 die beiden Ufer jedes einzelnen Schnittes zusammengeheftet werden, geht Fy in die Riemann- 

 sche Fläche F x der algebraischen Funktion x x (x) über, welche ja bei a k und b k einen Win- 

 dungspunkt /n' 1 ' 1 Ordnung besitzt. 



Es sei ferner /i, die Ordnung derjenigen Substitution, welche den Übergang von /"; zu / 2 

 vermittelt, a t b t der zugehörige Schnitt. Indem wir uns pi Exemplare der Flächen F^ vorhanden 

 denken, vereinigen wir diese zu einer Riemanuschen Fläche durch Zusammenheftung der Ufer 

 derjenigen Schnitte a t b, , welche sich auf F und auf den entsprechenden Blättern der übrigen 

 Exemplare F t belinden, so dass bei a, und b, Wiudungspunkte /ii ier Ordnung entstehen. Die er- 

 haltene Riemannsche Fläche, welche umkehrbar eindeutig auf den Fuudamentalbereich von l\ 

 bezogen ist, bildet, wenn die beiden Ufer jedes vorhandenen freien Schnittes zusammengeheftet 

 werden, die Riemannsche Fläche F 2 der algebraischen Funktion x. 2 (x). Wenn man nun in glei- 

 cher Weise zuerst mit den übrigen Schnitten von F , dann in irgendwelcher Ordnung mit den- 

 jenigen von Fy , F 2 u. s. w. operiert, erhält man eine unendliche Folge von Riemanuschen 

 Flächen, die nach Zusammenheftung der Ufer jeder einzelneu Schnitte in den Funktionen », (x), 

 x 2 {x), . . ., x„(x), . . . ihre Hauptfunktionen besitzen und deren Grenzfläche mit der oben ein- 

 geführten Überlagerungsfläche zusammenfällt, auf welcher unsere polymorphe Funktion z (x) 

 sowohl eindeutig als einwertig ist. 



19. Um den Ausdruck von x a (x) allgemein zu gewinnen, haben wir nach N:o 15 in fol- 

 gender Weise zu verfahren. 



Wir bilden zuerst die algebraische Funktion x x (x), welche durch die Gleichung 



a 



■' i «/,' _ /'' — «A 

 x v -~b k \x—b k ) 



i 

 f-k 



bestimmt ist, wo nach (17)' a k und h k bzw. gleich "^~ h ~- + fl * . " sind. Diese Funktion bildet 



2 2 (ij, 



N:o 7. 



