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die Fläche J 1 , auf die geschnittene schlichte .T r Ebene ab, wobei insbesondere das Blatt F in 

 einen Bereich tiberführt wird, bei welchem dem Schnitt a k b,, eine Sichel (i k te * Ordnung, den übri- 

 gen aber wieder Schnitte entsprechen. Die Bilder der anderen Blätter von F lt die sämtlich 

 innerhalb der genannten Sichel liegen, gehen aus dem Bild von F durch die linearen Substi- 

 tutionen 



2 TT i V 



(21) ^h>= e t=it (-=1, 2, ..., ^,-D 



hervor. Der ganzen Fläche F l entspricht also die mit (m — l)(i k Schnitten versehene x, -Ebene. 



Über die ganze Überlagerungsfläche analytisch fortgesetzt bewirkt die ausgeführte Trans- 

 formation »j = x x (sc) eine Eeduktion dieser Fläche in der Weise, dass die Blätter derselben je 

 /H zu einem Blatt zusammenfallen, so dass man eine über die .x r Ebene ausgebreitete, uneudlich- 

 vielblättrige Riemannsche Fläche erhält, welche in den Endpunkten der vorhandenen (m - 1) p* 

 Schnitte Windungspunkte besitzt. 



Der folgende Schritt besteht aus der Abbildung der über die a^-Ebene ausgebreiteten re- 

 duzierten Bildfläche von ^vermöge der zugehörigen Hauptfunktion x.,, die durch die Gleichung 





definiert wird, wo 



und a" und b/' bzw. gleich 



x 2 - a" _ (x, - a/\ J 

 Xi-bj" \x\-bj') 



a j '==x 1 (a J ), bj'=x i (bj) 



ßt' + b/ , a/ - bj' 

 2-2 fij 



sind, auf die schlichte .'.-Ebene. Hierbei geht insbesondere der Bildbereich von Ff, in einen 

 Bereich über, welcher von zwei Sicheln 1 ) und m — 2 Schnitten begrenzt ist; während das Bild 

 der ganzen Fläche F., aus der mit einer Anzahl Schnitte versehenen x 2 -Ebene besteht, von 

 welchen m — 2 ausserhalb der beiden Sicheln, {m—l)(f* k - 1) innerhalb der ersten (nicht linea- 

 ren) und (/ii— i)[(m — l)(/»i — i) + m-^-2] innerhalb der zweiten (linearen) Sichel gelegen sein 

 wird. Nach Ausführung der m ersten Wurzelprozesse, deren analytische Ausdrücke in der ange- 

 gebenen Weise unmittelbar gefunden werden, gelangt man zur x,„ -Ebene, wo dem Blatt F t> ein 

 m-fach zusammenhängender Bereich entspricht, dessen Begrenzung aus lauter Sicheln besteht, 



Bei den folgenden Wurzelprozessen werden neue, innerhalb der schon vorhandenen Sicheln 

 liegende Schnitte geöffnet. Hierbei ändern sich die schon existierenden Sicheln, jedoch immer 

 weniger; und es ist interessant zu beobachten, dass obwohl diese bei dem ersten Prozess nach 

 ihrer Entstehung ihren linearen Charakter verloren haben, sie bei den folgenden Prozessen sich 

 doch diesem Grenzzustand unbegrenzt nähern. 



20. Die Bestimmung der Gruppe r, d. h. der Koeffizienten ihrer erzeugenden Substitutio- 

 nen, lässt sich nun folgendermassen ausführen. Zur Berechnung der zum Schnitt «,- &,• gehörigen 



') Hier und im Folgenden wird die Benennung „Sichel" oft in einer allgemeineren Bedeutung ange- 

 wandt, indem wir darunter einen sichelförmigen Bereich verstehen, der aus einer Sichel in der früheren Be- 

 deutung („lineare Sichel") durch Abbildung vermittels algebraischer Funktionen erhalten wird. 



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