I'lrii die numerische Ausführung der Uniformisierung.. 23 



hei einer sehr allgemeinen Klasse von Gruppen des Sicheltypns für jeden nicht singulären Wert 

 s konvergiert. 



Zum Beweis fassen wir in der Summe 



(24)' ff,(s) = £|# M (g)-S M (oo)| 



diejenigen Glieder von (24) zusammen, welche sieh auf Substitutionen v Wt Stufe 



< 7 > s^ = s;; s;: ... s:; 



beziehen, wodurch die Untersuchung der Konvergenz von (24) auf diejenige der Reihe 



(25) £ a * M 



zurückgeführt wird. Diese Reilie kann aber mit einer passend gewählten geometrischen Reihe 

 verglichen werden, wie wir jetzt zeigen wollen. 



Jeder beliebig gewählten Substitution S {v) der Stufe v ordnen wir alle in der Form 



(26) S (U + 1) = 8 W 8- 



darstellbaren Substitutionen (v + l) ,cr Stufe zu. Wenn dann S w die Gesamtheit der in a„ auf- 

 tretenden Substitutionen durchläuft, wird S^ + d gerade einmal mit jeder Substitution von a, + 1 

 übereinstimmen, woraus folgt, dass unsere Reihe (25) hinsichtlich der Konvergenz mit derjenigeu 

 geometrischen Reihe vergleichbar ist, deren Anfangsglied gleich ffj ist und wo der Quotient ei- 

 nes Gliedes und des nächst vorangehenden gleich der oberen Grenze der Ausdrücke 



(27) Y S;(S M M)-S-(S v (oö)) 



S (v) U) - 8 W (od) 



ist, die Summierung über alle Substitutionen (26) erstreckt: d. h. sobald diese geometrische 

 Reihe konvergiert, gilt dasselbe a fortiori für die Reihe (25). 



23. Wir nehmen jetzt der Einfachheit halber an, dass die Kurven der Sicheln Kreisbo- 

 gen ») sind, und dass die Sicheln symmetrisch sind inbezug auf die ihre Eckpunkte verbindende 

 (xerade. Es sei allgemein 



lix l 1 



Si - g,- _ "-■ z - £■ 



Si- ii' e g -c 



' | Bei ungeradem /t reduziert sich eine derselben auf die durch die Fixpunkte gehende « rerade. 

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