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der Ausdruck von Si. Unter der angegebenen Voraussetzung befindet sich die zugehörige Rand- 

 sichel innerhalb des Kreises K { , deren Gleichung 



cotg £- = Ri 



(28) z - " + " = ' ^ — ^-' 

 ^ ; 2 2 



ist !). 



Unsere erste beschränkende Voraussetzung besteht darin, dass wir die m Kreise 



(29) K lt K\, ..., K,„ 



vollständig ausserhalb einander gelegen annehmen. Es sei z ein Punkt im Innern oder auf der 

 Berandung von B. Der Punkt 6\„)(s), wo S w den Ausdruck (7) hat, liegt dann sicher in der 

 Sichel o\. und man hat somit für das allgemeine Glied von (27) eine obere Grenze, wenn man 

 das Maximum des Abbildungmoduls 



■-' 



(30) **M 





„ r jt 

 in' 



sm ' -y * - Si (oo) 



für die Punkte der Sichel S iv berechnet 2 ). 



Nun sei A, /; die kürzeste Entfernung der Punkte 



Si (oo) (r = 1, 2 fn - 1) 



von der Peripherie der Sichel £,„, welche Entfernung jedenfalls grösser als der kürzeste Ab- 

 stand der Kreislinien Z, und K i¥ voneinander ist. Auf Grund von (30) haben wir dann die 

 Ungleichung 



fAV T 2 "' 



K'J sin 2 rT 



' ' S„, (*) - #„ (oo) > 



für jeden Punkt des Fundamentalbereichs von r. Mit Rücksicht auf die Formel 



4 1 



sm ,! 



n 



ergibt sich hieraus durch Summierung über die von der Identität verschiedenen Potenzen von 

 Si die Ungleichung 



2|fi, r (5 M JÄ)-Sr(5« w (oo)) 2 



^ 3 ' i . < ^ 2 - 1 tff 2 JL /A 



!ä w (5)-^)(oo)| 3 5 2*\A,,, 



') Im Falle einer parabolischen Substitution 



1 1 



+ ßi 



Si-i, M-tt 



haben wir anstatt (28) die Gleichung 



"-) Die Formel (30) ist auch für fi t . = oo gültig, wie auch alle unten folgenden Beziehungen. 



Tom. XLVI1I. 



