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wo (), von Null verschiedene positive Grössen sind. Aus dom Obigen ergibt sich, dass die Un- 

 gleichungen 



o 



i; 



*»+i(»)'<v5] -j. (, ' =i - 2 > 3 > • • •) 



für den ganzen Bereich B' gelton. 



24. Wir nehmen jetzt an, dass die Entfernungen der verschiedenen Randsicheln von B 

 von einander so gross im Vergleich mit ihren Dimensionen sind, dass q < 1 wird, was z. B. 

 durch die Annahme 



Em< A " 



Y in — 1 



erreicht worden kann, wo R„ der Radius dos grössten Kreises K, A,„ der kürzeste Abstand 

 zweier Kreise K bedeutet. Unter dieser Voraussetzung konvergiert die Reihe (24) zunächst in 



jedem Teilbereich B' gleichmässig. Weil aber dann die Reihe V — 2 wegen der Relation (23) 



konvergent ist. und weil auf Grund derselben Relation allgemein 



ist, wo & eine beliebige Substitution von /' bedeutet, so ergibt sieh, dass die Reihe (24) in je- 

 dem Bildbereich von B' und somit überhaupt in jedem endlichen, von den Grenzpunkten freien 

 Bereich gleichmässig konvergiert, welcher keine mit z = oo äquivalenten Punkte in seinem In- 

 nern oder auf seiner Berandung enthält. 



Wir behaupten, dass die durch (.22) definierte analytische Funktion </ (z) inbezug auf r 

 automorph und mit der Hauptfunktion f{z) dieser Gruppe identisch ist. 



,,' (-) — f tz) 



In der Tat ist die Funktion y v >, — ■ wo die Derivierte 



f (z) 



eine Poincarésche 9-Funktion von der Dimension (— 2) ist, als eine automorphe Funktion von 

 r durch i=/'(;j rational darstellbar, woraus durch Integration die Beziehung 



q , (.?)-/' (z)= ( B(x)dx 



erhalten wird. Weil nun die linke Seite für alle Punkte von B endlich bleibt, se stellt die 

 rechte Seite eine überall endliche Funktion x, also eine Konstaute dar, deren Wert durch die 

 Spezialisierung z = oo gleich Null gefunden wird. Wir haben daher <p (z) / (,r), und nach (22) 

 erhalten wir somit für unsere Hauptfunktion /'(..-) die konvergente Reihenentwicklung 



(41) /'(.:)=* + £'(£(*) -S(ooj), 



die Summierung über sämtliche von der Identitet verschiedenen Substitutionen von /' erstreckt. 



Tom. XLVIII. 



