über die numerische Ausführung der üniformisierung. 27 



Wenn y durch /'„ ersetzt wird, folgl aus (41) 



(42) /„Cl : <2 i '\S (n) (z)-S {H) (oo) , 



die Summierung über die Substitutionen von /'„ erstreckt. Weil nach N:o 9 diese Substitutio- 

 nen von mindestens (2.V- 1)'" stufe sind, wo .V die niederste Stufenzahl der Randsicheln von 

 B„ bedeutet, se besteht die rechte Seite von (42) aus einem Teil der Reihe 



00 



(43) £ M*), 



v = L 1 „Y — I 



und wir haben daher die Ungleichung 



für jeden nicht singulären Punkt des Fundamentalbereichs von /'. 



25. Wir wollen die Ungleichung (44) zunächst für den Fall weiter entwickeln, wo keine 

 parabolischen Substitutionen existieren. Weil dann N gleichzeitig- mit n unendlich wird, so 

 kann aus dem Obigen und insbesondere aus (44) der Schluss gezogen werden, dass die Beziehung 



lim f n {z) = z 



li = QC 



zunächst in jedem Bereich B\ dann aber ersichtlich in jedem von den singulären Punkten freien 

 Teil der :-Eheue gleichmässig besteht, womit unter den obigen Annahmen ein neuer Beweis 

 des Satzes in N:o 10 gegeben ist. 



Wir wählen jetzt z gleich einem Fixpunkt t, einer elliptischen erzeugenden Substitution S { . 

 In der Ungleichung (40) kann dann 



(45) <5',U~)= &-Jil 



- f', 



genommen werden, d. h. man hat die Ungleichung 



(46) ,;, Q< i?.. cotg ,* +V £*-, 



- 2 fi, /j A ö 



i = i 



wo in der rechten Summe j ^ i zu nehmen ist. 



Nach Einsetzung der rechten Seite von (46) in die Ungleichung (44) -erhält man eine Ab- 

 schätzung von /'„o i für einen beliebigen Fixpunkt £,-, welche Abschätzung noch etwas ver- 

 schärft werden kann, weil auf der rechten Seite von (42) nur vin Teil der Reihe (43) auftritt. 

 Dies geschieht in folgender Weise. 



Auf der rechten Seite von (42) bilden die auf Substitutionen höherer als (2N - 1)'"' Stufe 



ci 2 Y 1 



sich beziehenden Glieder eine Summe < — q . die bei kleinem Wert von n im Ver- 



• i - q * 



gleich mit der Summe der anderen Glieder vernachlässigt werden kann. Es sei nun S&n - » irgend- 

 eine erzeugende Substitution von /'„ der stufe ■> X — i. s, das Produkt ihrer ersten unter einan- 



N:o 7. 



