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der gleichen Primfaktoren. Nach S. 24 und 25 haben wir dann für einen beliebigen nicht 

 singuläreu Punkt von B die Ungleichungen 



S,2a--d(z) -S & s- ii (oo) 



und 



Si (*) - Si (oo) 



| S- (g) - S- (oo) < 





it{») 



Für z — t%, &' und ? = ?>, ?/ hat man resp. 



^-fiUg^-, 0, = ^ 



- i*\ 



zu nehmen. Wir erhalten in dieser Weise anstatt (44) für einen beliebigen Punkt des Funda- 

 ment albereichs B die Ungleichung 



(An s \ r t \ \^[ '1 \ 2A ' -2 ^ »iE* a t (z) 2.V-1 



i = i 



£i 

 wo allgemein x, die Anzahl der Substitutionen qVv-u mit dem ersten Faktor & bezeichnet. 



26. Die obige Darstellung bedarf einer Modifizierung im Falle parabolischer Substitutio- 

 nen, weil dann die Zahl N nicht mit n unbegrenzt wächst, sondern nur gleich zwei werden 

 kann, und somit die Kriterien (44) und (47) für unseren Zweck nicht .brauchbar sind. Um auch 

 für diesen Fall anwendbare Kriterien zu erhalten, müssen die Untergruppen von F in einer von 

 dem Obigen abweichenden Weise definiert werden. 



Wir versehen zunächst die bei der Gruppe f in der 2-Ebene vorhandenen Sicheln mit den 

 ludizes 0, 1, 2, ..., indem wir allgemein einer Sichel den Index p zuteilen, wenn man ihre 

 Randkurve mit einem Punkt des Fundamentalbereichs B vermittels einer stetigen, die Eck- 

 punkte vermeidenden Linie verbinden kann, die in p, nicht aber in einem geringe reu Anzahl 

 Punkte die Kurven der verschiedenen Sicheln schneidet Die Randsicheln von B sind also des 

 Index. 0, die in deu äussersten Zweiecken derselben liegenden Sicheln des Index 1, u. s. w. 



Wir wählen jetzt in folgender Weise die Reihe von Untergruppen uuserer Gruppe r. 



Es seien S,, S 2 , .... S m die irgendwie geordneten erzeugenden Substitutionen von r, bzw. 

 die entsprechenden Sicheln, welche zusammen die Berandung des Fundamentalbereichs B von r 

 bilden. Wir transformieren zuerst diese Randsicheln, mit Ausnahme von S, , vermittels der ver- 

 schiedenen Potenzen der Substitution S 1 . Nachher transformieren wir die hierbei erhaltenen 

 Sicheln, mit Ausnahme von S 2 , vermittels der verschiedenen Potenzen von S 2 , u. s. w. Schliess- 

 lich transformieren wir die bei deu m — 1 vorhergehenden Schritten erhaltenen Sicheln, mit 

 Ausnahme von S m , vermittels der verschiedenen Potenzen der Substitution S m . 



Die in dieser Weise erhaltenen unendlich vielen Sicheln, deren Indizes sämtlich > 1 sind, 

 bilden zusammen die volle Berandung eines gewissen Bereichs B mi . Jeder Randsichel derselben 

 gehört eine Substitution von r, die das Äussere der Sichel auf einen Teil des Inneren der- 

 selben abbildet. Alle diese Substitutionen erzeugen eine Untergruppe von 1\ die B mi zum Fun- 

 damentalbereich hat. Dies ist eben unsere erste Untergruppe /'„,,. 



Tom. XLVni. 



