Über die numerische Ausführung der Uniformisierung. 29 



Unter den Randsicheln von B», wählen wir jetzt alle diejenigen aus. deren Indizes gleich 

 l sind (die Anzahl derselben ist endlich), und ordnen dieselben oder die entsprechenden Sub- 

 stitutionen irgendwie in eine Folge SV, S t ' S m '. tndem wir dem oben auseinanderge- 

 setzten Verfahren genau Folge leisten (wir transformieren sukzessiv vermittels der verschiede- 

 nen Potenzen von S/, bzw. 8./. . .'., S„'), . gelangen wir von /'„„ zu einer neuen Untergruppe 

 /'„,,. deren Fundamentalbereich B„ H von lauter Sicheln begrenzt ist. deren Indizes > 2 sind. 



Wir wählen nachher diejenigen Randsicheln von B nil aus, deren Indizes gleich 2 sind, und 

 bilden in genau derselben Weise wie oben die folgende Untergruppe /',„,, nachher /„,,, u. s. w. 

 Dann wird allgemein der Fundamentalbereich der )' to " Gruppe l\„ v von lauter Sicheln begrenzt, 

 deren Indizes > v sind. 



Es sei nuu 

 {S) 8* 8* ... 8? 



irgendeine in „reduzierter Form" geschriebene Substitution von l',„ u . d. h. wo die Anzahl der 

 Primfaktoren S ik , welche die erzeugenden Substitutionen von /' bzw. deren inverse Substitutio- 

 nen bezeichnen, auf das Minimuni reduziert ist. Wir behaupten, dass für die Summe der Kx- 



pouenten die Ungleichung 



h 



y t,- > 2 v + 1 



besteht. 



Zum Beweis ziehen wir vom Fundamentalbereich B aus nach dem Bereich (<S) eine belie- 

 bige, die. Eckpunkte der Sicheln vermeidende Linie OQ. Diese Linie schneidet die Beraudiivg 

 vmi B,„ v in einem gewissen Punkt P. und der Teil OP derselben hat, auf Grund der Definition 

 der Untergruppen, mit den Kurven der Sicheln ausser P wenigstens v Punkte gemeinsam. Das- 

 selbe gilt aber auch betreffs des anderen Teiles PQ, weil dieser inbezug auf die Gruppe r„ ly 

 mit einer Kurve äquivalent ist, welche den Bereich B mit einem auf der Berandung des Bereichs 

 B mj oder ausserhalb desselben gelegenen Punkt verbindet. Die Kurve O Q schneidet also die 

 Kurven der bei r vorhandenen Sicheln wenigstens in 2v + l verschiedenen Punkten. Damit 

 ist aber auch die obige Behauptung bewiesen. 



Für das Folgende bemerken wir, dass hiernach wenigstens einer der Exponenten t in dem 

 Ausdruck (S) der Bedingung 



genügt. " 



27. Es sei nun a,, tl , derjenige Teil von ff/, , welcher sich auf alle der Bedingung 



genügenden Substitutionen bezieht. Zur Abschätzung der Grösse dieser Teilsumme machen wir 

 Gebrauch von der Ungleichung (31). indem wir dort #,.,, der Reihe nach gleich 



N:o 7. 





