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30. Im vorliegenden Falle bestehen die Wurzelprozesse aus Quadratwlirzelausziehungen. 

 welche den Ausdruck 



(50) X, + 1 — C„ =a y ( X, - C„ ± Y {X, - C„) 2 - )\ 2 \ 



besitzen, wo c,= " 9 " den Mittelpunkt des Schnittes, der eben geöffnet wird, und t, die halbe 



Länge desselben bedeutet. Für einen ausserhalb des Schnittes gewählten Punkt x v der reellen 

 Achse folgt hieraus 



Xy + J Cy <^ X V C v 



und 



d .'v+ 1 _ 1 1_ _ i a» — Cy _ \ i 



(/ ■''" 2 2 ^(«„-c,) 2 — r, 2 



wenn in der Formel (50) das richtige Zeichen, d. h. für x, + i (x) derjenige Zweig gewählt wird, 

 welcher den unendlich fernen Punkt invariant lässt. 



Die erste dieser Ungleichungen zeigt, dass der betreffende Wurzelprozess auf die ausser- 

 halb des Schnittes auf der reellen Achse liegenden Punkte eine Anziehung gegen das Zentrum 

 c, bewirkt, die zweite, dass jede ausserhalb des Schnittes gewählte Strecke der reellen Achse 

 hierbei verlängert wird. Aus der ersten Bemerkung folgt insbesondere, dass sich der Punkt a x 

 während der sukzessiven Wurzelprozesse beständig nach rechts, der Punkt 1>„, dagegen beständig 



nach links bewegt, und zwar im ganzen um einen Betrag, der sicher grösser als - 1 bzw. -£ ist, 



wenn /, die halbe Länge des Schnittes a,h, bezeichnet. Also schneiden alle Randkurven des 



Fundamentalbereichs die reelle Achse zwischen den Punkten <\ — ' und c,„ + "' • 



_ — 



31. Wir denken uns zuerst die m Anfangsoperationen ausgeführt, welche die Schnitte a,-t,- 

 (i= 1, 2, . . ., m) der Reihe nach durch geschlossene Kurven ersetzen. Es sei *, die i ,e unter die- 

 sen Kurven, K, der entsprechende Randkreis des Fundamentalbereichs in der ^--Ebene und R, 

 der Badins von K ; . Ferner sei d, die Länge des zwischen *, und x, + i liegenden Teiles der 

 reellen Achse (nach dem oben gesagten ist ch > a, + \ - h,). A, die Länge des entsprechenden Tei- 

 les der reellen Achse in der z-Ebene. Die Gesamtlänge Sj der innerhalb der Kurve *, liegenden 

 Strecken der reellen Achse, welche keinen Bildschnitten angehören, wird bei den folgenden 

 Wurzelprozessen beständig vergrössert, und man hat somit 



(51) Bi>*. 



Weil ferner 



m m — 1 



(52) ->2>,+2><£ 



ist, wo E den Abstand der beiden äussersten Schnittpunkte des Kurvensystems x mit der 

 reellen Achse bedeutet — nach dem oben Gesagten ist übrigens 



(52)' E<\o. l ~h m -4-(r, + r,„), 



Tom. XL VIII. 



