Über die numerische Ausführung der Üniformisierung. 33 



und weil allgemein 



(53) A,- >(/,(> a, + , -h) 



ist, so hat mau für den Radius eines beliebigen Randkreises K, die Ungleichung 



in - 1 m 



(54) 2tf,<i?-£ <*,-£' *, 



.• = i ; = i 



wo bei der letzten Summierung der Wert i=j auszuscliliessen ist. 



Weil im vorliegenden Falle die Punkte S (oo) mit den Mittelpunkten '■'—— — der betref- 



Li 



fenden Randkreise K zusammenfallen, so haben wir nach der in N:o 23 gegebenen Definition 



der Grössen A,, 



./ - 1 i - 1 



A y = £A ft +2 £ Bt + Si für ;>t, 



* = i »• = ; + i 



(55) 



l — l * — 1 



A„ = £ A " + 2 Z Ä * + ^ fur i < » 



zu nehmen. Nach der Abschätzung der Werte der Grössen i?, und A„ mittels der Formeln 

 (54). (55), unter Berücksichtigung von (51) und (53), lassen sich nachher obere Grenzen für q 

 und <x, aus (35) bzw. (46) berechnen und also die Abschätzungen (44) oder (47) aufstellen, 

 wenn q < 1 ist '). 



32. Wir gehen jetzt zu dem allgemeinen Fall über, wo die Indizes /j; ganz beliebige 

 Werte haben. Die Darstellung der Konvergenzkriterien beruht auf einem allgemeinen Satz, den 

 wir zuerst herleiten werden. 



Es sei A ein mit endlich oder unendlich vielen Randkurven versehener, zusammenhängen- 

 der Bereich der a>Ebene, welcher den unendlich fernen Punkt als inneren Punkt enthält. Fer- 

 ner sei (f (x) eine im Innern dieses Bereichs eindeutige, einwertige und im Endlichen reguläre 

 analytische Funktion, die in der Umgebung des unendlich fernen Punktes eine Reihenentwick- 

 lung der Form 



(56) ( ? (x) = X + C x L + i+-'- 



hat. 



Die Randkurven von A ordnen wir in irgendeiner Weise in Gruppen und umschliessen 

 die zu jeder einzelnen Gruppe gehörigen Randkurven mit einer geschlossenen Kurve, sodass die 

 neuen Kurven alle im Innern des Bereichs A und getrennt von einander verlaufen. Es seien 



') Nach einem bekannten Satz von Ritter und Burnside sind die Poincaré'schen Reihen ( — 2)<<' r Di- 

 mension im vorliegenden Falle, wo es sich um Hauptkreisgruppen ohne Grenzkreis handelt, stets absolut 

 konvergent. Durch eine andere Anordnung der Glieder, nämlich indem man jedem Kreis die von dem- 

 selben nächst umschlossenen Kreise zuordnet, kann in der Tat bewiesen werden, dass der Quotient a r , x : a^ 

 beständig kleiner als eine Grösse < 1 ist. (Vgl. die Abhandlung des Verf. : Zur Theorie der Konvergenz 

 der Poineare'schen Reihen (Annales Academiae scientiarum fennicae, t. IX, Ser. A, N:o 4. S. 28)). 



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