34 P. .T. Myrberg. 



G\, C 2 , . . . diese Kurven, ferner x,-,, x,-,, ... die von C,- umschlossenen Randkurven von A und 

 D,; und <&„ der grösste bzw. kleinste Abstand zwischen den Punkten der Kurven C, und x, v . 

 Die Kurven C, begrenzen vollständig einen unendlichen Teilbereich von A, den wir A' nennen. 



Weil die Funktion if (x) — x in diesem Bereich A' eindeutig und regulär ist, erreicht ihr 

 absoluter Betrag dort sein Maximuni M für einen Punkt x einer gewissen Randkurve C a . 



Lassen wir die (/--Ebene mit der a>Ebene zusammenfallen, so wird allgemein die Bild- 

 kurve von C,- innerhalb derjenigen Parallelkurve von 6', verlaufen, welche C, umschliesst und 

 davon die Entfernung M hat. Aus der Einwertigkeit der Funktion y far) in dem ganzen Be- 

 reich A folgt dann, dass allgemein die Bildkurven sämtlicher Kurven x iy innerhalb der genann- 

 ten Parallelkurve von d liegen, so dass für die Punkte ? der Kurve x iv die Ungleichung 



(57) | <f (?) - ? < J> iy 4- M 



gilt. 



Weil die Funktion y (x) — x im Bereiche A eindeutig und regulär ist und weil sie für 

 x — oo verschwindet, so haben wir für eineu beliebigen Punkt x von A auf Grund des Cau- 

 chyscheu Lehrsatzes die Formel 



(581 ..,,, ._ i vrr.it>- 1 



«V- 



wo über sämtliche Randkurven von A zu integrieren ist '). 



Es sei Di das grösste D. v und d t das kleinste d <v und ferner gr ö der kleinste Abstand der 

 Kurven & und Cj. Wenn x auf der Kurve Ca gewählt wird, so ist für einen beliebigen Punkt 

 ? der Kurve x, v , wenn i ^é o ist, 



(59) I (f (?) - i" ! < D, 4- M; | g — as \ > ch + g ia , 



während für Punkte der Kurven »a, die Ungleichungen 



(59)' | qp(£)-!|<Z)« + J!/; \$-x\>d a 



gelten. 



Fassen wir jetzt in der Summe (58) jedesmal diejenigen Glieder zusammen, bei welchen 

 über die Kurven einer und derselben Gruppe integriert wird, und bezeichnen wir mit l t die 

 Gesamtlänge der innerhalb C, gelegenen Randkurven, so erhält man aus (58) für x = x die 

 Ungleichung 



(60) 



2 .t __i d,- + # 1Q . 2 sr rfr, 



wo die erste Summe sich auf alle von Null verschiedenen Indizes bezieht, 

 Wir nehmen jetzt an, dass alle Ungleichungen der Form 



l ) Man sollte eigentlich längs gewisser um die einzelnen Randkurven x. bezeichneter Kurven inte- 

 griere», deren Abstände von den Randkurven x nachher unendlich klein gemacht werden. 



Tom. XLVIII. 



