über die numerische Ausführung der Uniformisierung. 35 



wo k ein beliebiger von den Indizes i ist und wo sich die Summierung über alle von Je verschie- 

 denen Indizes erstreckt, erfüllt sind. Dann können wir sicher die Ungleichung (60) inbezug auf 



M lösen. Hieraus ergibt sich 



M<M V , 

 wo 



' J_ [lh h y ' D, M . / i \h V _Ji | Y 



.2 x \ d k ^ ^ d< + g ik j •{ 2«r I d, ' ^ d,- + ff a I / 



(fc=l,2, 3, . ..) 



(62) M = Max. 



ist. 



Das letzte Eesultat wollen wir für die spätere Anwendung in folgender Form aussprechen. 



Satz. Es sei A' ein von geschlossenen Kurven C, begrenzter, den unendlich fernen Punkt 

 enthaltender Bereich der x-Ebene, in weichein y (x) eine eindeutige, einwertige und im Endlichen 

 reguläre analytische Funktion ist, die in der Umgebung des unendlich fernen Punktes eine 

 Reihenentuicklung der Form 



</>(*)=.*+ J+|+ ••• 



hat. Es werde dazu vorausgesetzt, dass <p (x) diese Eigenschaften noch in einem grösseren Be- 

 reich A behält, welcher den Bereich A' als Teilbereich enthält und dessen Bandkurven innerhalb 

 der Kurven C in der Weise gelegen sind,, dass die Bedingungen (61) erfüllt werden. Unter die- 

 sen Voraussetzungen hat man für jeden Randpunkt von A' 



(63) \(f(x)-x <M , 



wo M eine nur von den Bereichen A und A' abhängige Grösse bezeichnet '). 



33. Wir wollen unseren Satz auf den speziellen Fall anwenden, wo der Bereich A aus 

 dem Äusseren eines einzigen Kreises K mit dem Radius r besteht. 



Zur Kurve C wählen wir einen mit K konzentrischen Kreis mit dem Radius Ä > r. Die 

 Bedingungen (61) reduzieren sich dann auf 



^ < 2 st oder R > 2 r, 



R — r 



und aus (62) erhält mau 



M » = R=2r r - 



Für Punkte der Kreislinie | x | = B haben wir die Ungleichung 



\^)\<R + §±^r, 



') Als Korollarium folgt hieraus, dass die Ungleichung 



t qp {x) : < Mo + T, 



wo T den grössten Wert vor x auf den Kurven C,- bedeutet, zunächst für die Punkte der Kurven C { , dann 

 aber a fortiori für die Randpunkte von A gültig ist. Für den Spezialfall, dass A nur eine einzige Rand- 

 kurve hat, welcher Fall in der folgenden Nummer behandelt wird, ergibt sich hieraus ein Satz von Kof.be 

 (Vgl. Über die Uniformisierung der algebraischen Kurven (Math. Annalen, 69 (1910), S. 46)). 



N:o 7. 



