36 P. J. Myr iî er g. 



welche, dann a fortiori für | x | = r gültig ist. Wählt man speziell R — (2 -f }/3 ) r, so erreicht 

 die rechte Seite ihr Minimum = (3 -+■ 2 j 's)r. Es gilt daher die Ungleichung 



\(f(x)-x\<(k+ l)r (fc<3 + 2J / 3~) 1 ) 



auf der Peripherie von K. Durch Anwendung der Cauchyschen Formel erhält man hieraus die 



Ungleichungen 



(Je 4- i) r i 



(64) \<p(x)-x\< y^_ r 



und 



(64)' l?'W-H<^ 



ausserhalb des genannten Kreises. 



34. In dem Spezialfälle, wo </> (x) der Gleichung 



«^"S fx-r\' 

 9fr) + i Kx + rJ 



genügt, können die beiden letzten Ungleichungen verschärft werden. Der späteren Anwendung 

 wegen wollen wir dies für die erste von ihnen zeigen. 



Wir nehmen zunächst r = l au. Für den Hauptzweig von (p(x) leitet man leicht die 

 Darstellung 



her, wo 



;ri*i « c-i)( 2 -i)'"-(«-'-y 



P{x) h n) x* Zj x (2 t + 1)! ' x 2 "' 2 



k 



und 



.,, .l llf .(-i)('--L)-(»-è)l 



ist. Für beliebige positive ganzzahlige Werte von n und für x > 1 folgt aus der ersten Formel 



1 1 



p <*>K»|x|. _j_ 



und aus der zweiten 



Q U-) , > r'— 1 1 - 



i_ i_-L i_ 



x| | 8|*|> j 



x 



') Neuerdings hat man für die Koebesche Konstante A; den genauen Wert fc = 2 gefunden. Vgl. z. B. 

 L. Bieberbach, Über die Koeffizienten derjenigen Potenzreihen, welche eine schlichte Abbildung des Einheitskreises 

 vermitteln (Sitzungsberichte der königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften, XXXVIII, 1916). 



Tom. XL VIII. 



