Über die numerische Ausführung der Uniformisierung. 37 



Der letzte Ausdruck ist positiv für \x\ < ■ Unter dieser Annahme besteht die Ungleichung 



(66) <i (.')-'• <gj 



1 



3 lai 



2 

 Allgemeiner folgt aus (65) für | x | > — - r die Ungleichung 



(66)' |9<*)-» ;i ';,. ■— j ; , • 



3 | x | 2 



35. Zur Abschätzung der in unseren Kriterien auftretenden Grössen Ei und A ö kann der 

 Satz in N:o 32 in folgender Weise angewandt werden. 



Wir wählen zum Bereich A die geschnittene a>Ebene, wo wir um den Mittelpunkt jedes 

 etwa geradliuig gewählten Schnittes «, 6,- einen Kreis & mit dem Radius «, beschreiben. Es 

 sei r, die halbe Länge von «, &< . Auf der rechten Seite von (62) haben wir dann 



/„ = 4 r.j . D„ — q„ + r„ , d v = q v — r„ 

 zu setzen. 



Die Bedingungen (61) werden hier erfüllt, wenn die Längen der Schnitte im Vergleich 

 mit ihren Entfernungen von einander hinreichend klein angenommen werden. Wir setzen z. B. 



voraus, dass allgemein 



Q, ■ = 4 n 



gewählt werden kann. Es sei s der kleinste unter den Quotienten 



g Jt (i, k= l, 2, . . ., m; iyék), 



Ti 



wo g {k wie oben den kleinsten Abstand der Kreise C,- und C k von einander bedeutet. Die Be- 

 dingungen (61) reduzieren sich dann auf die folgende 



167^ i -> 6 (,H - 1} - 3 



und sind also für m < 4 immer erfüllt, Ferner genügt das durch (62) definierte Maximum der 

 Ungleichung 



*<£rf+&H-î 



1 m — 1 



¥ + ÊT+T 



wo fj, die halbe Länge des grössten Schnittes ist. Hieraus geht hervor, dass der Wert von M 

 unterhalb jeder vorgegebenen Grösse herabsinkt, wenn die Schnitte auf Punkte zusammengezo- 

 gen werden, ohne dass sie sich dabei unbegrenzt nähern. 



Wir identifizieren jetzt die Funktion <p (x) mit dem Hauptzweig unserer polymorphen Funk- 

 tion z{x). Infolge der Ungleichung (63), die für Punkte der Kreise C, gilt, liegen die Bild- 

 kurven dieser Kreise und also auch die Bilder der Schuitte, d. h. die Randsicheln des Fuuda- 

 mentalbereichs von r, innerhalb der mit den Kreisen C t konzentrischen Kreise X,' mit den 



N:o 7. 



