V. Numerische Beispiele. 



36. Wir beginnen mit dem einfachen Fall, wo in der x-Ebene nur zwei reelle Punkt- 

 paare a i ,b 1 und a 2 ,b 2 gegeben sind, deren Index fi gleich 2 ist. Es handelt sich dann zu- 

 gleich um die Uniformisierung der Riemanuschen Fläche ersten Geschlechtes 



yi = (x — Bj) (x - bj (x — rt 2 ) (,c - b 2 ) , 



weil nämlich offenbar neben x auch y in z eindeutig ist. 



Wir denken uns für einen Augenblick eine lineare Substitution ausgeführt, welche die 



Windungspunkte in die Punkte 



c,, e 2 , e 3 , oo 

 überführt, die der Bedingung 



<"i + e 2 + e-i = O 



unterworfen sind. Für die dem Schnitt e, e 2 zugeordnete Quadratwurzeloperation hat man dann 

 den Ausdruck 



(70) 



Dies ist die bekannte „Landensche Substitution" ')■ Wenn man dagegen die Wurzeloperation 

 bei dem Schnitt e 2 e 3 anwendet, erhält man die Gleichung 



/ l L 1 2 



(7i) x ~ e * = nzJL^izJ— 



in welcher die „Gaussische Substitution" erkannt wird. 



Wir bringen jetzt die Punkte «,,!»|,(! 2 ,d, vermittels einer reellen linearen Substitution in 

 solcbe Lagen, dass die halben Längen t\ und r 2 der aus a t b l und a 2 b 2 durch diese Transfor- 

 mation erhaltenen Schnitte beide gleich 1 werden und dass diese Schnitte zur imaginären Achse 

 symmetrisch liegen, was zwei verschiedene Möglichkeiten gibt, jenachdem ob man die Reihenfolge 



') Vgl. /. B. Di)RK(iE und Maurer, Theorie der elliptischen Functionen, fünfte Auflage, S. 55. 

 X o 7. 



