Über die numerische Ausfuhrung der Uniformisientng. 49 



Nach Ausführung der folgenden vier Wurzeloperationen, welche die den zuletzt erwähnten vier 

 Randsicheln entsprechenden, innerhalb der rechtsstehenden Sichel der a; t -Ebene liegenden Schnitte 

 öffnen, gelangen wir zur Gruppe /' s der Elauptfunktion x a mit einem Fundamentalbereich, der 

 als Randsicheln niederster stufe zwei innerhalb der Sichel S, liegende sicheln vierter Stufe be- 

 sitzt. Für 3 = £ 2 , ÎV berechnel man dann aus (47), wo 2V=4, * 1 = 4, x 2 = 0, d,=A + i2, zu 

 setzen ist. 



M*)-*K-io^' 



d. li. man kennt die Fixpunkte von S 2 , und also wegen der Symmetrie diejenigen von S lt mit 

 dreizehn richtigen Dezimalen. 



42. Die vorstehenden Beispiele haben wir so gewählt, dass sie hinsichtlich der Konver- 

 genz der Wurzelprozesse eine Vergleichung des allgemeinen Falles mit dem Spezialfälle m = 2, 

 fi l =fi 2 = 2, d.h. mit der Landenschen Substitution, gestatten, in jedem Kalle hängt diese Kon- 

 vergenz wesentlich von dn- Grösse q ab, die bei Vergrösserung der Abstände der verschiede- 

 nen Sicheln unter Beibehaltung ihrer Dimensionen rasch abnimmt. Im allgemeinen Falle wächst 

 zwar die Zahl N nicht so rasch wie bei der Landenschen Substitution; man kann jedoch dem 

 Poincaréschen Prinzip mit vollem Rechte bei der Uniformisierung höherei' algebraischer Kniven 

 dieselbe praktische Bedeutung zurechnen, welche, die Landensche Substitution bei der Unifor- 

 misierung der Kiemannschen Flächen ersten Geschlechtes hat. 



Die von uns gewählte Uniformisierungsmethode führt aber noch in anderer Hinsicht zu 

 befriedigenden Resultaten. In t\i~n Fällen, welche in den vorhergehenden Untersuchungen be- 

 handelt worden sind, wird man nämlich zu (Truppen mit absolut konvertierenden Poincaréschen 

 Reihen (— 2) ter Dimensionen geführt, die mit Vorteil zur analytischen Darstellung- der Funktio- 

 nen des uniformisierten algebraischen Gebildes durch die uuiformisierende Variable angewendet 

 werden können. Die Konvergenz dieser Reihen nimmt bei abnehmenden q rasch zu. Hinsicht- 

 lich der Konvergenz sind nämlich jene Reihen bekanntlich mit der speziellen Reihe 



t Sil) 



yi il •> I 



Zj dz 



vergleichbar, die rascher als eine geometrische Reihe mit dem Quotienten </ konvergiert, wenn 

 mau die sich auf Substitutionen einer und derselben Stute beziehenden Glieder stets zu einem 

 Gliede vereinigt und diese Glieder nach den Stufenzahlen ihrer Substitutionen ordnet. 



N:o 



