VI. Über die Darstellung der algebraischen Funktionen und 



ihrer Integrale als eindeutige Funktionen der 



polymorphen Funktion z. 



43. Zu den mehrdeutigen analytischen Funktionen, die durch Einführung der polymorphen 

 Funktion z des Sieheltypus als Hilfsvariable uuiformisiert werden können, gehören in erster 

 Linie die Gesamtheit der algebraischen Funktionen sowie gewisse Klassen Abelscher Integrale, 

 wie im Folgenden gezeigt werden soll. 



Wenn irgendeine algebraische Gleichung 



P{x,y) = 



gegeben ist, so kann man nach Ausführung einer geeigneten birationalen Transformation er- 

 reichen, dass die zugehörige, über die .'-Ebene ausgebreitete Riemannsche Fläche P den beiden 

 folgenden Bedingungen genügt, nämlich erstens, dass sie eine gerade Anzahl Windungspunkte 

 besitzt, und zweitens, dass diese Windungspunkte paarweise a,, h t von derselben Ordnung- n, sind 

 und einem und demselben Blätterkomplex angehören. Man kann ja sogar, nach einem von 

 Clebsch 1 ) und Lüroth 2 ) bewiesenen Satz, erreichen, dass alle Ordnungszahlen gleich zwei 

 werden. 



Wir setzen ferner voraus, dass zwei verschiedene Windungspunkte stets über verschiedenen 

 Punkten der ./-Ebene liegen, was man durch eine lineare Substitution der Form 



x' = x + Jcy, .'/' = ?/ 



erreichen kann, wo die Konstante Je nur der Bedingung unterworfen ist. dass sie gewisse Aus- 

 nahmsweise vermeidet. 



Wir behaupten, dass unsere algebraische Funktion durch diejenige polymorphe Funktion 

 des Sicheltypns uuiformisiert wird, die zu den Schnitten a, b { mit den Indizes ,</, gehört. 



') Clebsch. Zur Theorie der Rie manngehen Fläche i Mathematische Annalen, Bd. (i (1873), S. 216). 

 ') Lüroth. Note über Verztceigungsschniüe und Querschnitte in einer Riemannschen Fläche (Mathematische 

 Annalen, B. i (1871), S. 181). 



Tom. XLYllI. 



