Ober die numerischi Ausführung, der I niformisieruny. '<\ 



Es sei nämlich in der r-Ebene irgendeine geschlossene Kurve gezogen, die durch keinen 

 Grenzpunkt geht. Diese Kurve kann immer durch eine stetige Deformation, wobei weder 

 Grenzpunkte noch Sichelecken überschritten werden, auf eine Folge geschlossener Elementar- 

 wege zurückgeführt werden, die von zwei verschiedenen Arten sind. Jeder Weg erster Art 

 führt in die Nähe einer gewissen Randsichel, macht um diese einen Umlauf in dem betreffenden 

 Bereiche und kehrt dann entlang der ersten Linie wieder zum Anfangspunkt zurück. Kin Weg 

 zweiter Art besteht aus einer doppelt durchlaufenen Linie, die in der Nähe einer gewissen 

 Sichelecke endigt, und einem Umlauf um diese Ecke. 



Auf der Riemauuscheu Fläche entspricht jedem Weg erster Ait eine geschlossene Kurve, 

 welche nur ein Paar einander zugeordneter Windungspunkte umkreist, jedem Weg zweiter Art 

 eine geschlossene Kurve, die sich einen einzigen Windungspunkt vollständig herumwiudet. Hieraus 

 geht die Eindeutigkeit von //(:) unmittelbar hervor. 



44. Wahrend x{z) eine automorphe Funktion der Gruppe /'darstellt, ist y (2) nur inbe- 

 zug auf eine gewisse Untergruppe l' automorph, die z. B. in folgender Weise gefunden wird. 



Es seien y„, y t , // 2 , . . .. //„-1 die verschiedenen Zweige unserer algebraischen Funktion 

 y{x) bzw. die zugeordneten Blätter ihrer Riemannschen Fläche P. Indem wir eines von die- 

 sen Blättern, etwa //„, dem Fuudamentalbereich B von r zuordnen, wird y als eine eindeu- 

 tige Funktion von ■ vollständig bestimmt. Wegen der Eindeutigkeil der Funktionen x{z) und 

 y (z) entspricht jedem Bereich der (îruppe r ein ganz bestimmtes Blatt von P. 



Wir denken uns jetzt diese Bereiche mit denselben Indizes 0, 1, 2, . . ., n — 1 wie ihre 

 zugeordneten Blätter versehen. Jedem Bereich mit dem Index entspricht dann eine Substi- 

 tution von r, welche nicht nur x(z) sondern auch y (z) invariant lässt. Alle diese Substitutio- 

 nen - sind daher Substitutionen der gesuchten Untergruppe /". Ferner sind allgemein die sich 

 auf Bereiche vom Index v beziehenden Substitutionen in der Form 7\ Ï darstellbar, wo T„ eine 

 spezielle unter ihnen bedeutet. Hieraus geht aber hervor, dass / ' eine Untergruppe des Index 

 n von r ist. 



Es ist eine unmittelbare Folge der Irreduzibilität der algebraischen Gleichung P(x,y) = 0, 



dass die Substitutionen 2 = 1, ^, . ï 2 2„_i in der Weise gewählt weiden können, dass 



die ihnen entsprechenden Bereiche einen zusammenhängenden Bereich /." bilden. Die Gestalt, 

 dieses Bereichs, welcher gerade als Fundamentalbereich von / ' gewählt werden kann, ergibt 

 sich aus den folgenden Überlegungen. 



Die Randkurven von B' sind von zwei wesentlich verschiedenen Arten. Diejenigen der 

 ersten Art bestehen je aus der Begrenzung einer ganzen Sichel, deren Eckpunkten gewöhn- 

 liche Punkte der Fläche P entsprechen. Die zugeordneten elliptischen Substitutionen, welche 

 die betreffenden Eckpunkte als Fixpunkte haben, gehören der Untergruppe /" an und können als 



f 



erzeugende Substitutionen dieser Untergruppe gewählt werden. Derartige Handkurven sind stets 

 vorhanden, wenn nicht zufälligerweise alle Zahlen ,« gleich n sind. 



Die Handkurven zweiter Art von R' sind geschlossene Kurven, deren Eckpunkten je ein 

 Haar zugeordneter Windlingspunkte a,-, /', aut P entspricht. -Jede von ihnen begrenzt entweder 

 eine ganze Sichel oder nur gewisse auf einander folgende Zweiecke einer Sichel. Ihre Bilder 

 auf der Riemannschen Fläche sind Rückkehrschnitte, deren Projektionen auf der .'-Ebene mit 



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