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den bezüglichen doppelt zählenden Schnitten u, h ; zusammenfallen, wobei jene Randkurven stets 

 paarweise den beiden Ufern eines und desselben Ruckkehrschnittes zugeordnet sind. Hieraus 

 lässt sich leicht erkennen, dass die Randkurven zweiter Art paarweise durch lineare Substitu- 

 tionen in der Weise auf einander bezogen sind, dass die Inneren und Äusseren einander wech- 

 selweise entsprechen. Die betreffenden Substitutionen sind offenbar loxodromische oder hyperbo- 

 lische Substitutionen, und ihre Anzahl ist gleich dein Geschlecht der Riemannschen Fläche. 



Aus dem Obigen geht hervor, dass x(z) und y {z) eindeutige automorphe Funktionen einei 

 Gruppe /' sind, deren Fundamentalbereich B' durch den Prozess der sog. „Ineinanderschiebung 

 der Fundamentalbereiche" gewisser von einer einzigen elliptischen, hyperbolischen oder loxodro- 

 tnischen Substitution erzeugten Gruppen entsteht. Fassen wir dabei auch parabolische Substi- 

 tutionen teilnehmen, um zugleich gewisse Abelsche Integrale zu uniformisieron. so werden wir 

 zu den allgemeinsten Gruppen der erwähnten Art geführt. 



Die Gruppe /" reduziert sich insbesondere auf eine Gruppe des Schottkyschen Typus, wenn 

 alle Zahlen ," gleich n sind. Dies findet in dem Falle statt, wo die Gleichung P{x,y) = die Form 



„ _./■ — «, .'■ — K 2 .r — a , 



x — /<[ x — b-2 .'■ — b,„ 



hat. also im besonderen bei den hyperelliptischen Flächen. 



4.">. Wir gehen zur Betrachtung der Abelschen Integrale über. Es seien 



A x . A 2 . ■ ■ ■ , - 1, 



die oben eingeführten Rückkehrschnitte, welche je ein Paar vou den durch loxodromische oder 

 hyperbolische Substitutionen auf einander bezogenen Randkurven von B' definieren. Ferner sei 



/<,. B 2 , ■■■. 11, 



ein System konjugierter Schnitte, die je ein Paar gegenüberliegender Punkte der bezüglichen 

 Rückkehrschnitte miteinander verbinden. In der .--Fbene entsprechen ihnen offene Kurven, welche 

 die Bildkurven von .4, miteinander verbinden, so dass der Anfangs- und Endpunkt stets äqui- 

 valente Punkte sind. 



AU Periodenweg für die relativ zur Fläche P unverzweigten Abelscheu Integrale lässt 

 sich jede auf P geschlossene Kurve durch eine ganzzahlige lineare Kombination der Kurven. 



.4, B in der Form 



l(m,Ai + >>, Bi) 



i 



darstellen. Hier bedeutet m, bzw. n, die Differenz zwischen den Anzahlen der positiven un< 

 negativen Schneidungen der betreffenden Kurve mit dem Schnitt B, bzw. .4, (d. h. den Anzahlen 

 der vom - zum -f Rand und vom + zum — Rand geinachten Übergänge), indem mau die 

 Ufer der Bildkurven von ,4, und I>, in der .r-Ebene in entsprechender Weise mit Zeichen versieht, 

 findet inan, dass bei jedem Bereich stets die paarweise konjugierten Randkurven auf ihren in- 

 neren Ufern entgegengesetzte Zeichen haben. Auf Grund dieser Überlegungen kann man sich 

 leicht davon überzeugen, dass die Bildkurve einer auf /' geschlossenen Kurve in der z-Ebene, 



