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nous arrivons à démontrer (n" 3) en quelques lignes les résultats de MM. Poinoaeé 

 et BoBEL concernant la limite supérieure du module d'un produit de facteurs primaires. 



Au n" 6, nous donnons une proposition nouvelle qui constitue un complément 

 essentiel d'un théorème de M. Hadamard, et dont la démonstration n'est pas sans 

 difficulté. Cette même proposition nous permet plus loin (n» 20) de généraliser 

 notablement les résultats connus relatifs à la détermination du genre d'une fonction 

 entière donnée par son développement de Taylor. 



Afin de trouver des limites inférieures pour les modules des zéros d'une fonction 

 entière dont le module maximum croit moins vite qu'une expression donnée, nous 

 avons eu recours au beau théorème étabh par M. Jensen i), théorème dont nous 

 donnons une démonstration très simple ^) (n" 8), en le rattachant aux principes les 

 plus élémentaires de la théorie des fonctions analytiques. 



Les considérations des n°' 12—14 servent à préciser beaucoup les résultats de 

 MM. Hadamard et Borel relatifs au rapport qui existe entre la croissance d'une 

 fonction entière et la densité de ses zéros % ainsi que les propositions île M. Borel 

 sur les fonctions à croissance régulière. 



Enfin nous développons, aux n"' 16 — 18, une méthode à la fois élémentaire et 

 exacte pour étudier la croissance d'une fonction définie par une série de Taylor.*) 



Dans la seconde partie de notre travail, nous cherchons à préciser davantage 

 les résultats de la première, en resserrant autant que possible les diverses inégali- 

 tés que nous y avions établies, et en calculant effectivement les valeurs des con- 

 stantes qu'elles renferment. Nous y arrivons dans bien des cas, soit à l'aide des 

 expressions asymptotiques que nous a fournies la théorie de Cadchy pour certains 

 produits infinis, soit par une étude approfondie des inégalités tirées du théorème 

 de M. Jensen. Cependant le temps malheureusement trop court que nous avons pu 

 y consacrer, ne nous a pas permis de poursuivre jusqu'au bout toutes les recherches 

 que nous avions en vue, et pour certaines questions importantes, dont la solution dé- 

 finitive semble présenter des difficultés considérables, nous avons dû nous contenter 

 de quelques indications sommaires. Nous espérons toutefois que les résultats déjà 

 acquis par nous, et les méthodes qui nous y ont conduit, ne seront pas sans utihté 

 pour ceux qui désirent pénétrer plus loin dans cette théorie. 



') Arta inathematira, t. 22. 



'-) Avi moment d'achevei- l'impression de notre Mémoire, nous nous sommes aperçu qu'une 

 démonstration tout à fait analogue a déjà été donnée par M. J. Petersen {Acta maOïematica, t. 23). 

 ä) Cf. la note de la p. 24. 

 *) Cf. la seconde note de la p. 36. 



