/ (.r) = e 



Ernst Lindelof. 

 G (x) 



■n^(-:.' 



m désignant un entier positif ou nul et G (x) une fonction entière. 



Faisons encore l'hypothèse que la fonction G (x) se réduise à un polynôme de 

 degré k Alors, si p désigne le plus grand des nombres q et l; la fonction f(x) est 

 dite de genre p. 



Si la fonction G {x) est identiquement nulle, nous dirons que /' (.r) est une fonc- 

 tion canonique. 



Reprenons la suite (1) des zéros de la fonction f[x). De l'hypothèse faite au 

 début, on conclut l'existence d'un nombre p vérifiant la condition q< p<q-\-\. 

 et tel que la série 



soit convergente ou divergente, suivant que le noml)re e est positif ou négatif Ce 

 nombre />, qui indique la densité des zéros a, est appeh' Vordre réel de la fonction 

 f{x). Remarquons qu'on a toujours p<p + 1. 

 Quant à la série 



■4-' I a,. 



elle peut être convergente ou divergente suivant les cas. Toutefois, d'après la défi- 

 nition du nombre q, elle est forcément convergente si ,0 = 7 + 1, et divergente si 

 /> = '/• 



2. Inégalité fondamentale. — Nous allons établir, relativement à l'expression 



tr n" 



„ u + -i -\ 1- - 



E(u,p) = (l — ii)e - P , 



la proposition que voici: 



Étant donné un nomhre quelconque r satisfaisant à In condition p < t < p + 1 , 



on peut trouver une constante positive A telle que l'inégalité 



(2) ii;(u,i))|</'"' 



soit vérifiée pour toute valeur de u (si i)>0, il est permis de faire r=p). 

 Nous avons, pour : « | < 1 , 



lo.a: ( l — î<) + M + ^ + • ■ • H — ; 7, • • 



E{u,p)-e ^ P =e P^^ P + ^ , 



d'oîi 



E(u,p)<:e 



