4 Ernst Lindelöf. 



Comme f>'>p., le module du premier produit, composé d'un nombre fini de 



facteurs, restera évidemment inférieur à e^ à partia d'une certaine valeur r. Quant 

 au second produit, les inégalités ci-dessus nous donnent 



+ 1 



n«(;-j')<' "' ■ <' 



Donc nous aurons, pour .'• = /■, 



dès tiue r dépassera une certaine limite. 



Si la série (3) diverge, on a nécessairement ,"<i>+ 1. Fixons le nombre po- 

 sitif 6 assez petit pour iiu'on ait f>-\- ^^ <i)-\-l, et appliquons encore l'inégalité (2), 



en y faisant cette fois t = f> -\- [^: il vient 



A désignant toujours une constante positive. Comme la s^rie V ' converge, 



nous en concluons 



et par suite 



/•(■/■)</"''', 

 à partir d'une certaine valeur f. Nous avons donc démontré ce théorème: 



Toute fonction canonique f(.r) d'ordre réel f> vérifie, à partir d'une valeur finie 

 de r X , l'inégalité 



r(.r) </'^", 



quelque petit que soit le nombre positif t donné d'avance. 



Dans les cas où la série >^ converge, f(x) vérifie en outre l'inégalité 



T. XXXI. 



