6 Ern«t Lindelöf. 



Or, comme les séries 



X -V. et y ; 



Lmt no){n) i-J Hlogn 



sont respectivement convergente et divergente, on ne saurait avoii' 



1^*1 , . \ogn ^ e 



^r ^ -^ — , ou bien --y- > — 



no)(n) 2 nlogn w(m) 2 



pour toutes les valeurs n dépassant une certaine limite. En d'autres termes, (juel- 

 que petit que soit «, l'inégalité 



iogn ï 



ft)(w) ^2 



sera vérifiée pour une intinité de nombres entiers n. Comme d'autre part 



log Mjn) f 

 o) (n) 2 



dès que n dépassera une certaine limite, nous arrivons donc au résultat suivant: 



Quelque petit que soit le nombre positif t, on aura 



'■n ! log '„ ! < * 

 pour une infinité ilr râleurs Je l'indiee n. 



5. Recherche d'une limite inférieui'e du module d'une fonction entière de 

 genre zéro. — Étant donnée une fonction entière de genre zéro et d'ordre réel /f> < 1 : 



M -%'-:, 



nous allons démontrer le théorème suivant, où r désigne, comme plus haut, le 

 module de la variable complexe x. 



Quelque petit que soit le nombre positif s, on peut trouver une infinité de cercles 

 ayant l'origine comme centre et de rayons indéfiniment croissants, tels que l'inégalité 



'fiJ')\>e-''"^'^ 

 soit vérifiée s%ir chacun t/'eu.r. 



Ce théorème est d'ailleurs vrai aussi pour ,o = i: mais, comme la série > , 



converge, le théorème plus précis que nous établirons au numéro suivant est alors 

 apphcable. 



Marquons sur l'axe réel positif les points d'affixes , a^ . «., . • • ■ , «„ , et por- 

 tons de part et d'autre de chacun de ces points un segment de longueur 1, de sorte 

 (lue la portion de l'axe réel couverte par ces segments sera au plus égale à 2n. 



T. XXXI. 



