10 Ernst Lindelöf. 



Or, d'après (4), on a n' log \a^,\ < g-^ I «„. f , d'où il suit 



|n(>-f)!>«-»'"-''. 



- A (krf 



Comme |a^,|<Ä;r, le second membre de cette inégalité est supérieur à e -''' , 

 et par suite à. fortiori supérieur à e~^'' , puisque k''<Jc, de sorte qu'il vient enfin 



jn(-f.)|>«-"- 



Des limites que nous venons de trouver pour les modules des deux jiroduits 

 dont se compose /■{./), il suit 



I /'(*■) I >e~^' pour|a;| = r, 



et notre raisonnement prouve qu'il existe une infinité de valeurs *• imléfiniment 

 croissantes, pour lesquelles cette inégalité a lieu. 



Notre théorème est donc démontré. Il est d'ailleurs évident que le théorème 

 du numéro précédent en est une conséquence immédiate. 



7. Extension des résultats des n°^ 5 et 6 aux fonctions canoniques de 

 genre quelconque. — A l'exemple de M. Borel, nous allons nous servir de la 

 remarque suivante, qui est due à Lagueere. 



Soit une fonction canonique de genre p et d'ordre réel ,": 



et désignons par w une racine primitive {p+\)"'""' de l'unité. Le produit 



CD J" + 1 



F {X) = /' (./•) f (w .r) /■ («' x]---f {o/ .r) - n (l - 'V+1 ) > 



considéré comme fonction de .r/^\ est une fonction entière de genre et d'ordre réel • 



Dès lors, d'après les théorèmes des deux derniers numéros, on peut trouver 

 une infinité de cercles de rayons indéfiniment croissants, sur lesquels on a 



|i^(x)l>e~'"°^' ou \F{x)\>e~"''' 



suivant que la série ^ ' — I est divergente ou convergente. D'autre part, le résultat 

 du n" 3 nous apprend que, suivant que l'un ou l'autre de ces cas se présente, on a 



T. XXXI. 



