Mémoire sur la théorie des fonctions entières. 11 



I /■(«'■ a;) |< /" 'ou </'■'' (h=\,2,---,p), 



et par suite 



I /"(0) a;) • • • /"(w^ a;) |< e^ '■" ' ou < /^ '''', 

 si on prend r suffisamment grand. 

 On en conclut que l'inégalité 



\f(x)\>e~^^^'^'''^' ou bien | /•(*■) j > T ^^^ + ')'"'' 



est vérifiée sur tous ceux des cercles envisagés dont les rayons dépassent une 

 certaine limite, d'où le théorème suivant: 



Etant donnée une fonction canonique f(.r) de genre p et d'ordre réel ,0, on petit 

 trouver une infinité de cercles ayant l'origine comme centre et de ragons indéfiniment 

 croissants, sur lesquels l'inégalité 



est vérifiée, s désignant un nombre pjositif donné h l'avance aussi petit qu'on voudra. 

 Dans les cas où la série V — converge, l'inégalité plus précise 



\f{x)\>e-'''' 

 sera également vérifiée sur une infinité de cercles dont les rayons croissent indéfiniment. 



8. Théorème de M. Jensen. — Soit f{x) une fonction entière quelconque, 

 de genre fini ou non, «,,«, ,•••,«„,••• , ses zéros, rangés par ordre de modules 

 croissants, E sou module et d^ son argument, de sorte que f(x) = Re'^. Soit 

 d'autre part C un cercle ayant l'origine comme centre, le rayon r, et dont la circon- 

 férence ne passe par aucun des points a. 



D'après une proposition élémentaire bien connue, le nombre » des zéros de 



f(x) compris dans le cercle C est égal au produit par - — de l'accroissement que 

 prend l'argument </>, lorsque la variable x décrit la circonférence de ce cercle en 

 sens direct. On a donc, en posant x = re''P, 



1 r 00 ^ 



n = -r— -i — dw. 

 2stJ^d(p ^ 



Or, logi? et iO étant respectivement les parties réelle et imaginaire de la 

 fonction analytique log f(x), on a la relation 



d\ogE _l dû) 

 dr r d(f ' 



N:o 1. 



