12 Ernst Lindelöf. 



et l'égalité précédente peut donc se mettre sous la forme 



R , 



l^}, dr 



D'après le raisonnement qui précède, cette égalité subsiste pour j rt„ j <<>■< i «„ , , !■ 

 Nous pouvons donc intégrer par rapport à r, et, en posant 



-^''■^ = 2lr r ^""^^ '^'^ - 2^ ""^^S I '''^'■'■'^^ I '^'^ ' 

 et désignant par (7„ la constante d'intégration, nous obtenons ainsi 

 (6) F{r) = 7ilogr+C^, 



formule qui reste valable pour I «„ i < '' < | «„ + , | . 



Il est facile d'évaluer la valeur de la constante C,. Soit en effet a„_^ le 

 dernier zéro dont le module est inférieur à ! a J , de sorte qu'on a ' «_ | = | «^ _ , i = • • • 

 = I «„_.,4-i ! > I ^„_„ I- Le raisonnement ijue nous venons de faire nous donne, 

 dans l'intervalle | fl„_ J < /• < | «„ | , 



F(r) = {n-v)\ogr+C\_^^, 

 C„_„ désignant une nouvelle constante. Or, log-B n'ayant ([ue des infinis d'ordre 

 logarithmique, F(r) est une fonction continue de r. Les deux expressions que nous 

 venons de trouver pour Fir) doivent donc coïncider lorsqu'on y fait r = |«^|, ce 

 (lui nous donne, pour les constantes C, la formule de récurrence 



C„= C'„_, — »'log|a„| = C„_^ — logia„_^^_ja^__^_^,_.- • -a^l. 



Pour embrasser tous les cas, supposons que l'origine soit pour fix) un zéro 

 d'ordre m, de sorte que le développement de cette fonction commence par le terme 

 ex" , e désignant une constante diftérente de zéro. Posons d'ailleurs 



/•(.;;) = c :/'"/; (a') (/.(0) = 1). 



a,„^i étant le premier zéro de f(x) qui n'est pas nul, le raisonnement »lui 

 précède nous donne, pour r < | a „ _^ , j , 



F(r) = m]ogr+ C^^^, 

 la constante C,_ étant liée à C_ par la relation 



C„ = C",,, - log I a„, + 1 "„, + .j • • • a J . 

 Mais, d'autre part, nous pouvons écrire 



F{r) = m\ogr+\oë | C \ +-— J log \ f, (re"P) | d(f, 



T. XXXI. 



