Memoire sm- la théorie des fonctions entières. 13 



et, par la cuiuparaison de ces deux expressions de F{r), nous trouvons 



C„, - log I c I = ^j"^ log i f, (r e'-P) \d<f. 



L'égalité f\ (0) = 1 montre que l'expression du second membre tend vers zéro 



en même temps ijuo /■. Cette expression gardant une valeur constante pour 



'■<i«,„ + iK elle est donc identiquement nulle, d'où résulte 6\, = log | c j , et par 



suite 



C„ = log t c I - log I «„, ^ , rt,„ + o- • • «„ I . 



^'égalité {«) devient donc 



(7) ^^ r ^og i fire'f) I ^v = log I ^ /^ ~ I, 



formule valable pour toute valeur de r, à condition qu'on choisisse toujours l'entier 

 n de sorte que j a^ | < /■ < j a^ _|_ J . 



C'est là le beau théorème trouvé par M. Jensen '), et que nous avons ainsi 

 rattaché aux plus élémentaires principes de la théorie des fonctions. 



Dans la suite, nous supposerons en général, sans le dire à chaque fois, iiue 

 la fonction f{x) ne s'annule pas à l'origine, et que sa valeur y est égale à l'unité. 

 C'est là une hypothèse servant uniquement à simplifier la notation, et qui n'a 

 aucune influence sur les résultats, ce dont on se rendra facilement compte dans 

 chaque cas donné. En l'admettant, la formule de M. Jensen s'écrit 



(7)' ^f lOë\f{re-V)\d<p = log\ '' l 



9. Inégalités tirées du tliéorème de M. Jensen. Convenons de désigner, 

 avec M. Borel, par Mir) le maximum du module de la fonction f{x) sur le cercle 

 I a; I = r, et admettons iiue /'(0)=!. De la formule (7)' nous tirons immédiatement 

 l'inégaUté 



(8) \„ J „ , <M(r), 



I flj «2 ■ ■ ■ *» I 



en supposant d'abord que r vérifie la condition | «„ i ^^5 | «„+ i i- 



Mais il est facile de voir que cette inégalité subsiste quelle que soit la valeur 

 de r. En effet, si r est par exemple compris dans l'intervalle | «„_,_i. i < »"< |«„4.i.+ i |, 

 on aura d'abord l'inégalité 



') J.-L.-W.-V. Jensen: Sur un nouvel et important tlie'orcwe de la théorie den fonctions, Acta 

 Mathematica Tom. 22. En modifiant quelque peu la démonstration du texte, on établit de même 

 le théorème de M. Jensen relatif aux fonctions méromorphes. 

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