Ernst Lindelöf. 



rn + k 



,<M{r). 



Or, en écrivant le premiei- membre sous la forme 



on voit qu'il est supérieur ou égal au premier membre de l'inégalité (8). Celle-ci 

 reste donc valable pour r>|a,_^jî et, par un raisonnement tout à fait analogue, on 

 conclût qu'elle subsiste aussi pour r<|fl^j. Donc: 



Etant donnée une fonction entière quelconque dont la valeur à l'origine eut égale 

 h V unité; si «j, «3 , • • • , a,_, • • • , désignent les zéros de cette fonction, rangés par ordre 

 de modules croissants, et M (r) le maximum de son module sur le cercle \x\ = r, l'inégalité 



^^J) : ^<'^^ 



[ «j «2 • • • «„ j r" 



est vérifiée pour toutes les valeurs de r et de l'indice n. 



D'après une propriété bien connue des fonctions analytifjues, M(r) croit con- 

 stamment avec r. Supposons qu'on ait 



ilf(r)<e''*''\ 



V(r) étant une fonction croissante, telle que la fonction ip (r) = r V (r) soit également 

 croissante, et admettons, pour plus de simplicité, que F(0) = 0. 

 Cherchons le minimum de l'expression 



En égalant à zéro sa dérivée par rapport à r, on trouve la condition 



rV'{r) = n, ou bien ip(r) = n, 

 d'oîi l'on tire, en désignant par (f la fonction inverse de la fonction ip, 



de sorte que le minimum cherché devient 



J <p («) 



Nous obtenons donc le résultat suivant (en supposant toujours /'(0) = 1): 



T. XXXI. 



