Mémoire sur la théorie des fonctions entières. 10 



Si, pour toutes les valeurs de r, M{r) vérifie la condition 



(10) M{r) < e''"'', 



V(r) et rV'(r) = ip(r) étant des fonctions continues et croissantes, et 7(0) = 0, on a, 

 pour toute valeur de l'indice n, l'inégalité 



J (p{n) 



(11) 1 ^ e° ■ 



l«i«2---«J [(fin)]" 



et par suite, à jÂus forte raison, l'inégalité 



1_ fntp'in) 

 n J -^W *' 

 (12) 1 



< 



I «„ I ?>(»») 



Et nous pouvons évidemment ajouter: 



Si la condition (10) n'est vérifiée qu'à partir d'une certaine valeur de r, les 

 inégalités (11) et (12) subsisteront à partir d'un certain indice n. 



Remarquons enfin que, si 7(0) n'est pas égal à zéro, ou si les fonctions V{r) 

 et tp (r) ne sont continues et croissantes qu'à partir d'une certaine valeur de 

 r, cas qui se présentera dans la suite, on doit prendre comme limite inférieure 

 de l'intégrale figurant dans les inégalités précédentes une constante positive conve- 

 nablement choisie, et en même temps multiplier le second membre de (11) par un 

 certain facteur numérique, et par suite le second membre de (12) par un facteur de 

 la forme l+£{n),s(n) tendant vers zéro lorsque n tend vers l'infini. 



10. Théorème sur la partie réelle d'une fonction entière. — Nous termine- 

 rons ce chapitre en rappelant la démonstration du théorème suivant de M. Hadamard: 



Soit f{x) une fonction entière et U sa partie réelle; s'il existe une infinité de 

 cercles, ayant l'origine comme centre et de rayons indéfiniment croissants, sur lesquels 

 une inégalité de la forme 



u< a/ 



est vérifiée, A désignant une constante positive et k un entier positif ou nul, la fonction 

 f{x) se réduit à un polynôme de degré inférieur ou égal a l. 



Si la condition précédente est vérifiée quelque petite que soit la constante A, f{x) 

 est un polynôme de degré inférieur à L 



Soit 



n^) = ^c„^'\ i;, = cc,. + iß,„ 



