16 Ernst Lindelöf. 



les a et (i étant réels. Si l'on pose x = re''P, la partie réelle de f(x) s'écrit 



f/ = «^ + V '•" («„ CCS nip — (ï„ sin n (f) , 

 1 

 d'où l'on tire, pour n>0, 



r 



J n 



et par suite 



et, pour n = Q, 



Il s'ensuit 



J 



^'•''k„|<£Vl^y, 



et, en ajoutant la dernière égalité, 



^r"|c„| + 2«r«^<C (U-\-\U\)d<p. 



Or ?^7+|f/^j est égal à 2 t^ ou à 0, suivant que [/ est positif ou négatif. En vertu 

 de notre hypothèse, il vient donc, pour n = l + l-, 



jrA + ^ I C;i^ ^. I + 2w«o < istAr^, 

 ou liien 



inégalité qui sera vérifiée sur chacun des cercles dont il est question dans le théo- 

 rème ci-dessus. Comme le second membre, dès que ^>0, tend vers zéro lorsque 

 r tend vers l'infini, on en conclut que les coefficients C;^_,_,, c^ + o, • • • «ont tous nuls, 

 et que par suite f{x) se réduit l)ien à un polynôme de degré inférieur ou égal à 

 ^, comme le dit le théorème. 



La dernière partie de ce théorème se démontre de même en égalant, dans 

 l'inégalité ci-dessus, le nombre k à zéro. 



Il n'est guère nécessaire d'ajouter, que le théorème que nous venons de 

 démontrer s'applique aussi bien à la partie imaginaire d'une fonction entière qu'à 

 la partie réelle. 



