CHAPITRE IL 



EeIjAtion entre la grandeur du module maximum d'une 



FONCTION entière ET LA DENSITÉ DE SES ZEROS. 



11. Définition de l'ordre apparent d'une fonction entière; relation entre 

 l'ordre apparent, l'ordre réel et le genre. — f{x) étant une fonction entière 

 quelconque de genre i?, et M{r) désignant le maximum de son module sur le cercle 

 \x\ = r, nous savons, d'après la remarque «lui termine n" 3, que l'inégalité 



et par suite, à plus forte raison, l'inégalité 



est vérifiée dès que la valeur de r dépassera une certaine limite finie. Nous en 

 concluons, pour toute fonction donnée de genre fini, l'existence d'un nombre n 

 répondant à la condition suivante: 



Quelque petit que soit le nombre positif «, l'inégalité 



(13) M(rXc'"'' 



est vérifiée à partir d'une valeur finie de r, et l'inégalité 



(14) ilf(r)>/'" 

 pour des valeurs r dépassant toute limite donnée. 



A l'exemple de M. Borel, nous appellerons ce nombre /j- Vordre apparent de 

 la fonction considérée. Parfois nous dirons aussi que M{r) est d'ordre e . 

 Le problème fondamental qu'il s'agit de résoudre se pose ainsi: 

 Etant donnée une fonction entière f(x) dont on suppose l'ordre apparent égal à y^ 

 que peut-on dire de son ordre réel et de son genre'^ 



On peut évidemment supposer /■(0) = 1 sans nuire à la généralité. En eft'et, 

 si cette hypothèse n'est pas réalisée et si c.r"' est le premier terme du développe- 

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