18 Ernst Lindelöf. 



ment de f(x) suivant les puissances de la variable x^ on peut écrire f{x)==cx"'f^ {x), 



la fonction /i (x) étant d'ordre apparent /* et /■, (0) = 1 . 



Nous pouvons donc appliquer le dernier théorème du n" 9, en y faisant !'(/■) = 



r" + ^ En gardant la notation de ce numéro, nous trouvons successivement 



1 

 ,, . . , / n \!^ + s 1 f'"na)'(n) -, 1 



et par suite, d'après (12), 



1 

 1 ^ \ e(fi + t) -Y + c 



I « J L n J 



inégalité qui subsistera pour n suffisamment grand, queli|ue petit qu'on ait donné s. 

 Donc la série 5] — converge dès que f est positif, d'où cette première con- 



clusion : 



L'ordre réel d'une fonction entière ne saurait dépasser son ordre apparent. 



Dès lors, la fonction considérée f(x) peut se mettre sous la forme 



(15) /•(.)=.«^-^^n^(|,,), 



0{x) étant une fonction entière et ([ un nombre entier </i, ce qui résulte des iné- 

 galités q < p, /> < (M. 



Appliquons maintenant le théorème du n" 7. Il nous api)rend l'existence d'une 

 infinité de cercles ayant l'origine comme centre et de l'ayons indéfiniment croissants, 

 sur lesquels est vérifiée l'inégalité 



Vi<A>' 



Comme d'autre part, d'après l'hypothèse, 



/(x-)|</''^' 

 dès que r est supérieur à une certaine limite, l'égalité (15) nous dorine donc, sur 

 tous ceux des cercles envisagés dont les rayons dépassent cette même limite, 



OU bien 



partie réelle de G {x) < 2 r'" ^ ' . 



Comme ce raisonnement .s'applique quehjue petit que soit le nombre positif f, le 

 théorème du n" 10 nous fournit donc ce nouveau résultat: 



