Mémoire sur In fhéorie des fondions entières. 19 



La fonction G(.v) se réduit a un polynôme de degré k</ji.. 

 Pour pousser plus loiu la discussion, nous devons distinguer deux cas: 

 l:o Le noynbre fi n'est pas entier. — D'après ce que nous venons de dire, le 

 degré fc du polynôme G{x) est inférieur à /i. Quant à l'ordre réel p, je dis qu'il 

 est égal à /j-. En efî'et, nous avons montré plus haut qu'on a toujours />< (tt. Mais 

 si ,o était inférieur à fi, on pourrait conclure du théorème du n" 3, en désignant 

 par /* — ff un nombre inférieur à fi mais supérieur à ^ et à h, que l'inégalité 



subsiste à partir d'une valeur finie de r, ce ([ui est contraire à l'hypothèse (14). 

 Donc on a bien /' = /", et par suite, le genre p est égal au nombre entier qui 

 précède immédiatement le nombre f^'. 



Inversement, toute fonction entière (15) telle que f> = fj-, k<C. /"■, est bien d'ordre 

 apparent fi. Cet ordre, en effet, ne saurait être supérieur à />, à cause du théorème 

 du n" 3, ni inférieur à /», en vertu du premier résultat établi ci-dessus. 



2:o /* est un nombre entier. — L'un des nombres k et p doit être égal à ju-, 

 sans quoi on se trouverait de nouveau en contradiction avec l'hypothèse (14). Si 

 ^ = i") P P6"t avoir une valeur quelconque <fi. En effet, il suit du théorème du 

 n" 3 (jue, pour ces valeurs de h et de p, l'ordre apparent de la fonction (15) n'est 

 pas supérieur à fi, et d'autre part on peut conclure des propriétés de la fonction 

 exponentielle et du théorème du n" 7 ou (dans le cas où /> = i"0 de la première pro- 

 position établie ci-dessus, que cet ordre n'est pas davantage inférieur à /*. — Dans 

 ce cas le genre p est égal à p. 



Si k<^p, on a nécessairement p = p>. D'ailleurs on voit, par le même rai- 

 sonnement que dans l'hypothèse l:o, qu'une fonction entière (15) pour laquelle ces 

 conditions sont remplies, est bien d'ordre apparent p. — Quant au genre ^, il y a 

 dans ce cas indétermination. En effet, on aura p = p~l ou p = p, suivant ({ue la 



série ^ i est convergente ou divergente. 

 Si fix) est de genre /*— 1, l'inégahté 



il/(-r)</''", 

 comme nous l'avons déjà, dit, subsistera pour r suffisamment grand, quek^ue petit 

 (lue soit «, tandis ([u'on aura d'autre part 



ilf(r)>/''~' 

 pour une infinité de valeurs r indéfiniment croissantes, puisijue la fonction est 

 supposée d'ordre apparent p. Nous exprimei-ons ce fait l>rièvement en disant qu(i 

 Mir) est d'ordre e^ . 

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