20 Ernst Lindelöf. 



Mais, comme l'a fait remarquer M. Poincaré, et comme nous le verrons dans 

 la seconde partie de ce Mémoire, il existe des fonctions entières de genre fi pour 



lesquelles M{r) est également d'ordre /' . 



On voit donc que le cas d'indétermination dont il a été question plus haut, ne 



se présente que lorsque M{r) est d'ordre e , mais que, si cette dernière condition 

 est remplie, l'indétermination est bien réelle. 



Résumons les résultats de notre discussion: 



Étant donnée une fonction entière âJ ordre apparent /i; si /j^ n'est pas un nombre 

 entier, l'ordre réel p de la fonction est égal à i^ et le genre p égal à V entier immédiate- 

 ment inférieur à fi. 



Si fi est un nombre entier, le genre p est égal a fi toutes les fois que M(r) n'est 



pas d'ordre e^' ; mais, si M(r) est d'ordre e^ ,il y a indétermination relativement 

 au genre, qui, suivant les cas, j^eut être égal à fi ou égal a (i — \ . 



12. Extension des résultats précédents. - Inégalités diverses. — Le théo- 

 rème que nous venons de démontrer renferme tous les résultats de MM. Poincaré, 

 Hadamard et Borel relatifs au rapport qui existe entre l'ordre de grandeur du 

 module maximum M(r) d'une fonction entière et la densité de ses zéros. Nous 

 allons voir qu'on peut notablement préciser ces résultats, sans invoquer d'autres 

 considérations que celles du premier Chapitre, et à cet effet nous commençons par 

 établir certaines inégalités. 



En reprenant les raisonnements et la notation du n" 9, supposons d'abord qu'à 

 partir il'une certaine valeur de /-, il (r) vérifie la condition 



M(r) < e '■<'•', 

 oii 



V (r) = A r' (log rf' {lof rf' • • • (log^^'r)"" , 



A désignant une constante positive, et cherchons ce (|ue devient l'inégalité (12). 



Pour éviter des redites incessantes, nous allons introduire dès maintenant une 

 notation dont nous aurons à faire dans la suite un usage continuel. 



X étant une quantité positive variable, continue ou non, mais pouvant prendre des 

 valeurs aussi grandes qu'on voudra, nous désignerons indifféremment par a (x) toute 

 fonction de x qui tend vers zéro lorsque x tend vers l'infini. Si x est une variable 

 continue, e (x) désignera une fonction continue. 



Cela posé, en prenant la dérivée logarithmique de la fonction V(r), on trouve 



rV (r) _ ip{r) «j «„ , 



"FTrT =' TTÔ = ^' + 10^7- + ■ ■ ■ + logr.--lô^ = />(!+« ir», 



T. XXXI. 



