Mémoire sur la théorie des fonctions entières. 



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d'où Ton tire 



^p (r) = p V{r) (1 + s (r)) = (1 + « (r )) Ä,or" (log /■)'" • • • (log^"' r)"% 

 et en diflérentiant encore une fois, 



xp'(r)=^pV' (r) (1 + e (r)) = ^^ (1 + e (r)). 



Ces expressions montrent que V{r) et (/'(»•) sont bien des fonctions croissantes à 

 partir d'une certaine valeur r, comme l'exige le théorème de la page 15. 



Posons maintenant ip{r) = n, et résolvons cette équation par rapport an En 

 prenant les logarithmes des deux membres on trouve successivement 

 log n = p log r (1 + « [r )), log*'''n = log'^r (1 + « (r)), • • • , 

 d'où l'on tire inversement 



log )• = — log n (1 + e (n i) , log^'''' r = log '""^' n (J + £ (ni) , • • • 



Par suite, l'équation dont il s'agit nous donne pour r l'expression 



1 



r = (1 + « m)) f-^ n (log nV"' • ■ ■ (log''''^)"'''']'' = (fin). 



De l'expression de i/''(r) on tire ensuite 



ip(r) ^ ncp'jn ) ^ 1 +£(w) 

 rip'ir)~ (fin) p 



et par consé(iuent, en choisissant convenablement la limite inférieure de l'intégrale 



^ =(l + ein))e'' . 



r,h\U( 



,nj (p {n) 



Donc, en appliipiant le dernier théorème du n" 9, nous sommes conduits au résultat 

 suivant: 



Si le module maxiimim M(r) d'une fonction entière satisfait à la condition 

 (1^^ jl^(,, < ^Är^ilogrr(log^'>rr-^loe^rf^ 



h partir d'une certaine valeur de r, le module \a^\ du n'""" zéro de la fonction vérifie 

 l'inégalité 



(17) 



a„ I >(1 - *) [f-j n (log n)- "' (log'" h)" '" • • ■ (log^"^ n)' "^] '' 



pour n suffisamment grand, quelque petit qu'on ait donné le nombre positif e. 



Si nous avons tant insisté sur les simples calculs qui précèdent, c'est unique- 

 ment pour n'avoir pas besoin d'y revenir lorsque dans la suite nous aurons affaire 

 à des questions analogues. 



N:o 1. 



