22 Ernst Lindelöf. 



Supposons maintenant, inversement, (iiie les zéros a véritient pour n>n^^ 

 l'inégalité 



(18) I «J > [w(logn)"' • • . (log'"«)"^]" , 



f> nétant pas un nombre entier, et cherchons d'abord une limite supérieure du 

 module du produit uni 



JI^(|,p) (p<P<P^l). 



Choisissons un nombre t vérifiant la condition p<.r<^p. L'inégalité fonda- 

 mentale du n" 2 nous donne 



et d'autre part nous avons, en vertu de l'hypothèse (18), 

 1 ' ■■' 



S i 7r "^ X ["'(log**)"" ■ ■ ■ (log'" w)" 



Le terme général de cette dernière somme est une fonction décroissante de n, pour 



T 



n supérieur à une certaine limite, et comme >— 1, l'intégrale de ce terme 



tend vers l'inüni avec n. Nous en concluons, par un raisonnement l)ien connu de 

 la théorie des séries, que la valeur de la somme en question est égale à 



(l+ï(n')) [w (log w)"'- • • (log^'^n)""] '>dn. 

 D'autre part, comme 



[n(logw)'" ■ • • (log'^^«)"'] " "={l + s m,) ^ \j^n[n(\ognf' • ■ ■ (log^^'n)"-] "j , 

 cette dernière expression équivaut à 



(1 + f (w' )) -^ n' [n'(logn')"' • • • (log"''^')''''] '' . 

 Doue, en posant 



(19) r' = [n' (logw')"* • • • (log^^'n')""]" , 



d'ovi il suit inversement 



n' = ^^tli^) ..'/-(log /)-«' . . . dog'"' r')- "" , 



nous trouvons enfin pour le produit considéré une inégalité de la forme 



T. xxxr. 



