Ernst Lindelöf. 



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chaque signe II portant sur l'expression E(-~ ,p\ et l'entier nj étant déterminé par 

 la condition 



(22) [n, (logni)"' • • • (log*''^Wir'']'^< r < [(n^ + 1) (log in, + 1 ))"' ■ ■ ■ {\of\n, + 1 ))""]'' . 

 Le module du premier de ces trois produits est inférieur à une expression de 



, n const. r'' 



la forme e 



Pour le module du second produit, l'inégalité (20), où le nombre r' est main- 

 tenant égal au premier membre de (22), c'est-à-dire à ;•(! + *(»•)), fournit une 

 limite supérieure de la forme 



const. r^ (log r)~ "'■•• (.log'"* r)^ "" 



Enfin, l'inégalité (21) nous donne pour le troisième produit une limite supérieure 

 de la même forme. Donc, nous avons démontré ce théorème: 



Si les zéros d'une fonction entière de genre p, h jMrtir cVim certain d'entre eux, 

 satisfont à la condition 



(18) I «J > [nClogn)"' (log*'' n)"' • • • (log'"' »)""]'' , (p<,o<P + l), 



le module maximum M (r) de cette fonction vérifie l'inégalité 



(23) ^^,^^^^^.Mog.r«MW^N-)---iog<"Vr-^ 



ou A est une constante positive '). 



On peut se demander quelle est la limite inférieure des valeurs qu'il est permis 

 d'attribuer à la constante A, sans que l'inégalité (23) cesse d'être vérifiée à partir 

 de quelque valeur finie de r, les zéros étant assujettis à la seule condition (18). 

 La proposition de la page 21 nous montre que cette limite certainement n'est pas 



inférieure ;\ — s^^- Mais les méthodes très élémentaires dont nous avons fait 



usage jusqu'à présent, ne sauraient fournir la valeur exacte qu'on demande, et ce 



') Ce théorème résulte d'une proposition établie antérieurement par M. Pierre Boutroux 

 dans une Note insérée aux Comptes rendit^ (du 4 février 1901), qui nous avait complètement 

 échappé et sur laquelle M. Boutroux, dans une Note ultérieure dont nous aurons encore à 

 parler, a bien voulu appeler notre attention. Nous pensons cependant que la démonstration 

 que nous donnons ci-dessus, présente, sur celle qu'a esquissée M. Bot'troux dans sa Note, 

 l'avantage d'une plus grande simplicité. 



T. XXXI. 



