Mniioirc sur ht fh/'or/r rh-s fonctions enticrrs. 25 



n'est qu";! l'aide des considérations du iiiuitricnie r.lmpitre de ce Mémoire que nous 

 parviendrons n la calculer. 



Si /> est égal à p ou à i^ + l, la proposition ci-dessus n'est plus applicai)le. 

 Supposons par exemple p = j)-\-]. L'inégalité (20) restera toujours vérifiée, mais 

 l'inégalité (21) doit être moditiée. En effet, pour que le raisonnement (lui nous y a 

 conduit reste valable, nous devons choisir r' = f>^ et nous sommes ainsi conduits à 

 considérer l'intégrale 



I Indog«)"'- • ■ (log"''^)"'] dn, 

 laquelle (en admettant (|ue «, > 1) est égale à 



^±'^p (logn'r"- + ' (log'^'v/)- "-■ ■ ■ (log'"'n')-"% 

 ou bien, avec la notation (19), à 



(,< ""^iV /'.' - 1 ^'*^§ '''^^ '" ^ ' ^^^§'" '■'' "" ■ ■ ■ '^"^*"' '''^" "" • 



Donc l'inégalité (21) devient 



oonst. ?■■" [ilosr'i" ""' + ' ilou-'^'r')" "' • • • (log'"' )■')'"''] 



\\^{''a^n<'' 



et par suite nous obtenons, an lieu de (23), l'inégalité suivante: 



A r'Mos- i-r"' + ' ilof.-'=^'rr- "■' ■ ■ ■ (lof.-'"')-)- "» 

 (23)' M(r)<e 



A étant une constante positive. Foui- f> = p, on ariùve au même résultat. 



On pourrait être porté à croii-e que cette élévation de la limite supérieure de 

 M{r) dans le cas où l'ordre réel fi est un nombre entier, tient à l'imperfection 

 de la méthode mise en usage. Mais nous allons voir dans la seconde partie de 

 ce Mémoire (|u'il n'en est rien, et (|ue nous touchons bien ici à la différence es- 

 sentielle et profonde, (|ui sépare ce cas de celui où l'onU-c réel n'est pas entier. 



lo. Définition nouvelle plus précise de l'ordre apparent el de l'ordre réel 

 d'une fonction entière. Relation entre ces ordres. - Fonctions à croissance 

 régulière. — Les inégalités que nous venons d'établir permettent de préciser beau- 

 coup le théorème du n» 11. Afin d'énoncer le résultat sous une forme plus nette, 

 nous allons poser d'abord certaines définitions nouvelles. 



Nous dirons que j\I{r) est (Tordre /" "osn*" (log"'''!'" ••■dog "r)"^^ ^. y^^^_^ .^^ ^^^^g,_ 

 que petit que soit le nomlire ]30sitif <■, 



X:o 1. -t 



