26 Ernst Lindelof. 



r''(logr)'''...(log"'-lVr''-i(W'M"v+-' 

 M{r) < e " 



à partir d'une certaine valeur de r, et d'autre part 



r'' ilo2' ri"' • ■ • ilo2;'''~^'n'''' - ' ilog*"';-)"^ ~ ' 

 M{r) > e " 



pour une infinité de valeurs r dépassant toute limite donnée. Nous ajouterons que 

 M{r) est à croissance régulière, si la seconde de ces inégalités est vérifiée, comme la 

 première, à partir d'une valeur finie de r. quelque petit que soit «. 



De même, nous dirons que o^^ est d'ordre [«(lognf' (log'^'»)"' • • • (log*"'»)""]' .' 

 si les inégalités 



I a„. > [n(logn)"' • • • (log"''"^'w)"''-i (log''''nf """ ']" 

 et 



a,i < [wdogn)'" • • • (iog"'^"wf'-Mlog"''w)"' + °"]'' 



ont lieu, la première à pai'tir d'une valeur finie de n et la seconde pour une 



infinité de valeurs w, quelque petit qu'on ait donné i. Si la seconde inégalité 



subsiste, comme la première, à partir d'une vnleur finie île n, nous ajouterons que 



rt^^l est à croissance régulière. 



Cela posé, on a le théorème suivant: 



Si le module ma:mnmn M{r) d'une fonction entière est d'ordre 



r" (logr)"' (logl2),.)«» . . . (log'^'r)"' 



(24) e , 



fi n'étant pas un nombre entier, le module a^i du n "" zéro de la fonction est d'ordre 



(25) [n (log n) ' "' (log*^' n)'^'.-- (log^"' n) - "" ] " , 

 et si M {r) est à croissance régulière, il en est de même de a^^ . 



Inversement, si a^^\ est d'ordre (25), p n'étant pas un entier, et si le genrep est 

 inférieur h f>, M [r) est d'ordre (24); et si a^^ est à croissance régulirre, il en est de 

 même de Mir). 



Pour ce ([ui concerne le rapport entre les ordres de grandeui- de Mir) et de 

 «^, il suffira de consulter les propositions établies pp. 21 et 24; nous ne croyons 

 pas nécessaii'e d'y insister davantage. 



Heste à prouver les parties de ce théorème qui sont relatives à la croissance 

 régulière ^). Pour simplifier la notation, nous nous bornerons au cas oîi, v étant 



M Les propositions concernant la croissance régulière ont été établies par M. Borel pour 



i 

 le cas où M\r< et a^^ sont respectivement d'ordre e'' et 71" {Leçons sur les fonction/^ entières. 

 Note 11). 



