MriHoire .'fur la théorie tics fonctions entières. 27 



égal à 1, M(r} et rt_, sont respectivement d'ordre e "et [n{\ogn)'"'y . La 

 démonstration pour v quelconque serait tout à fait analogue. 



Voici donc la première proposition (lue nous devons démontrer: 



Si, quelque petit que soit s, M{r) vérifie les conditions 



(26) e ' "^ ' < M{r) < e ' ^ 



à partir d'une valeur finie de r, p n'étant pas un nouiljre entier, les zéros vérifient les 



inégalités 



1 1 



(27) [w (log n)" "•"']'' < «, < [w (log n)" "■"']'' 

 pour n suffisaniiuent grand, quelque petit que soit t. 



On sul>po^^e démontré que «, est d'ordre [«(lögn)""]'', c'est à dire qu'on a 



1 



«„ > [w(iog'«r"~^]'' 



pour n suffisamment grand, et 



«„ < [ni\ogn)-" + 'y 



pour une infinitL' de valeurs n. 11 reste donc à faire voir ([ue cette dernière iné- 

 galité subsiste pour toutes les valeurs n dépassant une certaine limite, et cela linéi- 

 que petit qu'on donne le nombre positif«. 



Si ceci n'était pas vrai, il existerait un nombre positif ff tel qu'on eût 



1 



(28) fl,^, > [n(logw)^"^'']'' 



pour une infinité de valeurs «. En nous plac^ant dans cette hypothèse, nous allons 

 voir que M (r) ne saurait être à croissance régulière. 



Après avoir fixé le nombre «, nous pouvons trouver un entier «o tel (|u'on ait 



1 



(29) ! a,| > [w(logM)~"~^']'' pour w> Ho, 



et d'antre part un entier n^ supérieur à n,, et d'ailleurs aussi grand (|u'on voudra, 



pour lequel l'inégalité (28) ait lieu: 



1 



"„, > [*« 1 (log '^i )~ "' ^ "] ■" • 



Déterminons encore l'entier n.2 par la condition 



Wjdogn^)""'"' < j(,(logw,)~ ''''"'' < (»2+ 1) (log'.no-f 1 >) "' % 



et posons enfin 



N:o 1. 



