28 Ernst Lindei-Af. 



r, = [n^doen,)-""']', r = [«, (log»,r"+ 3]^ r, = [ni(logM,r""^T , 

 d'où suit, à des facteurs près de la fonue l+i{r), 



(30) ri = const. r {logri~'^^ '' ; »'2 = const. r (logc)^''. 

 Cela posé, écrivons la fonction donnée sous la forme 



/w=('"'"n)-n-n-n. 



1 ,..+1 „,+1 »,+1 



cbaiiue signe II portant sur l'expression £■( - , f], et cherchons une limite supérieure. 



du module de chacun de ces quatre produits sur le cercle ' ir 1 = r, r ayant la valeur 

 indiquée ci-dessus. 



Le module du premier produit est inférieur à une expression de la forme /°°*^ '' . 



Les zéros des trois autres produits vérifient tous la condition (29), de sorte 

 iiue nous pouvons appliquer les inégalités du numéi-o précédent. Nous ti'ouvons 

 ainsi, à l'aide de (20), (|ue le module du deuxième produit est inférieur à 



const. r^ [»•,'' ~ " (log r, 1" "*" "J 

 C , 



ou liieii, d'après (30), à 



const. r'' 'lo^r) P "^ f ' 



(31) P 



et de même rinégalité(21), en observant que [in^ -\- 1) (logCw.^ -h 1)) ""']" = r.^il +*0'.^)), 

 nous donne pour le module du quatrième produit une limite supérieure de la forme 



const. r"' [r/ - '' (log r^f + '] 

 ou bien, d'après (30), 



const. r'' (log r} p 2 ' 



(82) e 



Reste le troisième produit. Les modules de tous ses zéros étant > i «„ ■ et par 

 suite supérieurs à i^, nous trouvons d'abord, en appliquant l'inégalité fondamentale 



du n" 2, ((ue le module de ce produit est inférieur à 



Or, les inégalités qui définissent n^ nous donnent 



Ha = ( 1 + « ( ) 2 () p" + ' r/ (log I2)"' ^' ' , 

 d'où il suit, en négligeant des facteurs qui tendent vers l'unité lorsque r tend vers co , 



