Mrïiioirr ^iir In théorie des fo}>cfio)t!> entirirs. 29 



'[\. = const. c/ " '■ (log 12)" '^ ' = const. *•" ~ '' (log r)" ~ ^ ^^^ , 



de sorte que nous obtenons aussi pour le module du troisième produit une limite 

 supérieure de la forme 032). 



Rappelons (]ue les nombres t et t' ont été choisis de manière à vérifier les 

 inégalités 2> < T </'< 'f' < i> + 1 , de sorte iiue les différences f/ ^ r et r' ~ p sont 

 positives. Dès lors, en désignant par Oi la plus petite des (|uantités 



et en choisissant le nombre « inférieur à ^, d"oii suit «< J, nous pouvons con- 

 clure du raisonnement (pii précède que l'inégalité 



est vérifiée pour une infinité de valeurs /■ dépassant toute lindte donnée. C'est 

 dire que M(i) est à croissance irréguUère. 



Donc, si ^f(r) est à croissance régulière, il en est de même de , a,, , ce que 

 nous voulions établir. 



Démontrons maintenant la proposition inverse: 



Si, quelque petit que soit f, les zéros satisfont aux co)Klitions (27) à pnrtir (Tune 

 valeur fitiie de )i, M{r) vérifie les inégalités (2H) dès (/uc r est suffisaiiimeuf grand, 

 quelque petit qu'on ait donné e. 



On suppose démontré que M (r) est bien d'ordre e ' °'^ " _ _ Nous aurons en- 

 core à suivre la voie indirecte. Supposons donc que cette proposition ne soit pas 

 exacte; en d'autres termes, admettons qu'il existe un nombre positif <r tel qu'on ait 



MirXe'''^^''"" 

 pour des valeurs r dépassant toute limite donnée. Nous allons encore nous heur- 

 ter à une contradiction. 



Après avoir fixé une valeur r^ pour laquelle la condition (pu précède est 

 remplie, déterminons /j par l'équation 



Cl" (log r{)" ~ 2 = /•/ (log /a)" '" . 

 Puisque M(r) est une fonction croissante, nous avons pour r < / ^ 



,,, . ^ ri'do^r^f-" iv" (log c, 1" 2 

 M(r) < e sse , 



N:o 1. 



