30 Ernst Lindelöf. 



et par suite 



fP flog r)'^ " 2 

 M(r) <e ^ 



taut (-lue V restera dans l'intervalle i)\, r^). D'aprOs Thypothèse admise, nous pou- 

 vons d'ailleurs trouver une infinité de tels intervalles (r,, r.j), extérieurs les uns 

 aux autres, où cette inégalité est vérifiée. 



Dès lors, la première proposition du n" 9 nous donne 



_ V r^dogri"- 2 



pour toute valeur r foisant |)artie de l'un quelconque des intervalles en (]uestion. 

 D'après les calculs de !a p. 21, le second membre de cette inégalité atteint son 

 maximum pour 



r = (f {n) - (1 + ï vu >) [/>" " 2 ' „ (log n)' "' ^ '^Y , 

 et ce maximum est égal à 



(1 + 1 [n))\^- — n(iognr " ^ - 1■^ 



Comme le rapport 5^(/*_JlJ tend vers l'unité lors(iue n tend vers l'infini, tandis ijue 

 (f (n) 



le rapport 



'^J = (1 +«(;•.,:) (log n,)'^" 



croît indéfiniment avec )\, il existe évidemment une infinité de nombres entiers n 

 tels que la valeur r^(f(n) fasse partie des intervalles considérés, et par suite 

 nous arrivons à cette conclusion, ([ue l'inégalité 



1 

 n (log n) 2 



est vérifiée pour une infinité de valeurs de l'indice n, (|uel(iue petit que soit *, ce 

 qui veut dire que «„ i est à croissance irrégulière. 



Cette conclusion étant en contradiction avec Thypothèse admise, notre pi'opo- 

 sition est démontrée. 



14. Suite des considérations sur les fonctions à croissance régulière. — 



Démontrons encore le théorème suivant qui sert à préciser beaucoup les propositions 

 (lue nous venons d'établir relativement aux fonctions à croissance régulière. 



Si le module maximum M (r) d'une fonction entière de genre p, à partir d'une 

 certaine valeur de r, vérifie les inégalités 



T. XXXI. 



