Mémoire srir lu théorie ries foncfions entières. 31 



Ar''(\oe:r''' Br^ilosr)" 



A et B étant des constantes positives, on lieut trouver deux antres constantes positives 

 A^ et By telles qu'on ait, à partir d'un certain indice n, 



\A, n (log nr "] ■" < «„ < [B, n (log n)- "] '' • 



Inrerseiiient, si les zéros satisfont à ces dernières conditions, on peut déterminer 

 les noinhres A et B de telle sorte que les inégalités précédentes soient vérifiées. 



Nous nous contenterons d'indiquer rapidement la démonstration de la première 

 partie de ce théorème, la marche à suivre étant absolument la même qu'au n" 13. 

 La proposition de la page 21 montre d'abord qu'on peut prendre 



: (1 - *) 



ï étant un nombre positif arbitrairement petit. Il reste donc à démontrer l'existence 

 d'un nombre B^ répondant aux conditions du théorème. 

 S'il n'existait pas un tel nombre B^, l'inégalité 



1 

 "» > [g Aj^n {log ny"]'' 



serait vérifiée pour une infinité d'indices n, quekiue grand (pie fût le nombre positif 

 a. Nous allons montrer que cette dernière hypothèse n'est pas compatible avec 

 les données du théorème. 



A cet effet, après avoir fixé le nombre a. déterminons les entiers «o, "n "2 



par les conditions 



1 

 «„ > Uin(logH)~"J" pour H > H„, 



1 



«„^ > [(T.-liWi (log Hj)" "■]•", 



>h (log n^r "<any (logn.r " < («2 + 1 ) (l"g ("2 + 1))" " , 

 et posons 



1 1 1 



r, = [.4, n, (log n,r "] " , /' = [j t A, n, (log «,)" "] " , r., = [a A, n, (log «,)- "] ^ 



d'oil il suit 



