CHAPITRE III. 



ÉTUDE DES PUOPRIKTÉS d'UNE FONCTION ENTIÈRE 

 riONNÉE l'Ai! SON DÉVELOPPEMENT DE TAYI-OK. 



15. Recherche d'une limite supérieure des modules des coefficients, étant 

 donnée une limite supérieure du module de la fonction. — Une fonction entière 



quelconque /'(.*■) peut se mettre sous la forme d'une série suivant les puissances 

 entières et positives de j-, convergente pour toutes les valeurs de cette variable. Soit 



(33) /■(.'■) = ('„ + (\x + r,.r- + • • • + c,,./;" + • • • 



ce développement; d'après une pi-oposition de Cauchy, les coefficients c jouiront de 

 la propriété 



(34) lim/rëj = 0, 



et inversement, tout développement (33) dont les coefficients vérifient cette condition, 

 représentera une fonction entière de ./■. 



"Désignons toujours par M(r) le maximum du module de la fonction donnée 

 sur le cercle -r = r. En vertu d'une propriété fondamentale des fonctions analy- 

 tiques, ce maximum est supérieur au module d'un terme quelconque du développe- 

 ment (33) pour la même valeur de rr], de sorte que l'inégalité 



est vérifiée 'pour toutes les râleurs de r et de Vindiee n. 



C'est là un résultat tout à fait analogue à l'inégalité 



_ } ^M{r) 



(«j n.,---a^\ r" ' 



trouvée au n" 9 du premier Chapitre. Nous pouvons donc appliquer ici directement 

 les calculs et les raisonnements des n»' 9, 11 et 12, et nous arrivons ainsi aux ré- 

 sultats suivants: 



Si, à partir d'une certaine valeur de r. M (r) vérifie l'inégalité 

 X:o 1. j 



