34 Ernst Lindelöf. 



2lf(r)<e^''', 

 ^4 étant une constante positive, on aura, quelqnc petit que soit s, 



dès que n déjjassem une certaine limite. 



Et de même, en transcrivant le théorème de la p. 21: 



Si la condition 



A »-Mogrl"' ilog-'-'»-|"' . .. ilop;'"'»-)"'' 

 (35) Mir) <e 



est vérifiée à partir d'une certaine râleur de r. on aura, (juelque petit (jue soit i", 



*^''' '" ^- < <^ +*)[«(log„)-".(loi'o""•^(log^^)^«^]'• 



dès que r dépassera une certaine limite. 



Nous avons vu à la, fin du n" ?,, (|u'une fonction entière (luelconque de genre 



p croît moins vite ijue l'expression /' , et cela quelque petit ipie soit le nombre 

 positif s. A l'aide de la première iiroposition ci-dessus, nous en tirons le résultat 

 suivant, dû à M. Poincaré: 



Les coefficients du développement taylorien d'une fonction entière quelconque de 

 genre p jouissent de la propriété e.rprimée par l'égalité 



(37) lim nP^U c^ =0. 



Dans les cas où cette égalité n"a pas lieu, nous pouvons donc affirmer que le 

 développement (33) (sous la condition (34)) définit une fonction entière de genre 

 supérieur à p. 



]{>. Problème inverse du précédent. Méthodes proposées antérieure- 

 ment. - Exposition d'une méthode élémentaire. — Il s'agit de trouver une limite 

 supérieure du module d'une fonction entière en partant de son développement de 

 Taylor. A cet effet on remplacera d'abord la fonction donnée par une fonction 

 majorante convenablement choisie. Comme le démontre M. Hadamard dans son 

 grand Mémoire, on peut toujours donner à cette dernière fonction la forme 



(38) ^••'•> = 2(.| 



(n)l 



