Mémoire sur la théorie des fonctions entières. 8Ô 



(fin) étant une fonction continue et positive, constamment croissante à partir d'une- 

 certaine valeur de n et tendant vers l'infini en même temps que n. On est ainsi 

 ramené à chercher une limite supérieure ou. une expression asymptotique de la fonction 

 entière F(x) pour les valeurs positives de x. 



M. Hadamard a consacré à l'étude de ce problème une partie du Mémoire que 

 nous venons de citer. La méthode intéressante mais assez compliquée qui s'y 

 trouve exposée, conduit à ce résultat, qu'en admettant relativement à y (n) une 

 hypothèse très générale, la fonction F(x) vérifie, à partir d'une valeur finie de w, 

 l'inégalité 



FixXx-e 



(/' désignant la fonction inverse de <f et s, comme toujours, un noml>re positif donné 

 à l'avance aussi petit (lue l'on veut^ 



Bien qu'il soit possible de simplifier et de préciser notablement la méthode 

 que nous venons de rappeler, elle ne saurait cependant fournir de résultats suffi- 

 samment exacts. Aussi M. Hadamard est-il bientôt revenu sur cette question '), 

 en esquissant une nouvelle méthode à la fois plus simple et plus exacte que la 

 précédente, méthode qu'il a revêtue d'une forme géométrique très élégante. Pour 

 les applications, cette seconde méthode conduit en somme à la règle suivante: 



Qu'on construise d'aljord la courbe 



(39) // = ./'logff (.r), 



puis la réciproque de celle-ci par rapport à la parabole x^ = 2ij; l'équation de cette 

 seconde courbe étant mise sous la forme ij = 0{x], l'expression 



,,r, $(loga-) 



(40) e 



représentera asymptotiquement la fonction F(x), en ce sens que le rapport des lo- 

 garithmes de ces deux expressions tendra vers l'unité lorsque x tendra vers l'infini ^). 

 Ce résultat comporte précisément le degré d'exactitude qu'exige la théorie 

 générale qui nous occupe. Pour abréger, nous conviendrons de dire que deux 

 fonctions croissantes sont du même ordre de grandeur, si leurs logarithmes vérifient 

 la condition que nous venons d'énoncer. 



') Bulletin tle ta Socirté Mathcmatiqiic de France, t. 24, p. 186. 



-) En ce dernier point, l'exposition de M. Haijamahd ne nous semble 



