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Nous devons signaler enfin une méthode très précise exposée par M. Le Roy 

 dans un travail récent i). En ramenant le problème en question au calcul approché 

 d'une intégrale définie, M. Le Roy obtient, dans des cas assez étendus, une expres- 

 sion asymptotique de la fonction F{:x) dont le rapport à cette fonction tend vers 

 l'unité lorsque x tend vers l'infini. C'est évidemment un résultat bien plus exact 

 que le précédent. 



Nous allons reprendre cette question pai- une méthode très élémentaire ^), 

 fondée sur une idée simple et naturelle dont on a d'ailleurs tiré parti pour d'autres 

 questions d'Analyse ^). Dans les cas les plus importants où la fonction y (n) croît 

 d'une manière simple, cette méthode nous conduira d'un coup au résultat de M. 

 Hadamard, et une discussion facile nous permettra d'atteindre le même degré 

 d'approximation que M. Le Roy. 



La variable ./■ ayant une valeur fixe quelcon([ue, considérons l'expression 



comme fonction de n. Pour les valeurs positives de n cette expression aura un 

 maximum bien déterminé, qui sera évidemment une fonction continue et croissante 

 de .'■ et que nous désignerons par i2(.2-). 



Si l'on admet que la fonction (fin) a une dérivée continue, et qu'on désigne 

 par « la valeur de n pour laquelle le maximum de l'expression (-il) est atteint, un 

 trouve de suite, en difïérentiant, 



a' y' (g) 



(42) P.(x) = e f^"^ , 



n étant donné en fonction de x par l'éiiuation 



a<p' {a) 



(43) x = w{a)e ^ ^"^ . 



') Valeurs asymptotiques de certaines series proce'dant suivant les puissances entières et positives 

 d'une variable re'elle {Bulletin des Scie7ices Mathématiques, Novembre 1900). 



-) Le présent travail était déjà sous presse lorsqu'à paru le petit livre de M. Bdrel, intitulé 

 Leçons sur les séries à termes positifs. Nous y avons vu que l'auteur, dans son Cours au Collège 

 de France au commencement de l'année 1901, a enseigné précisément la même méthode que 

 nous développons ici, toutefois sans pousser l'approximation aussi loin que nous le ferons. 



') C'est p. ex. cette même idée dont s'est servi J. Bertrand dans son Traité de Calcul 

 différentiel et de Calcul intégral (t. Il, p. "243), pour déduire la formule de Stirlino directement de 

 l 'intégrale eulerienne. 



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